Theorem peano2zd 9593

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9503	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6011   1c1 8021   + caddc 8023   ZZcz 9467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468

This theorem is referenced by:  elfzp1  10295  fznatpl1  10299  fzdifsuc  10304  fseq1p1m1  10317  zsupcllemstep  10477  suprzubdc  10484  flqge  10530  2tnp1ge0ge0  10549  ceiqm1l  10561  addmodlteq  10648  frec2uzzd  10650  frec2uzrdg  10659  uzsinds  10694  seq3f1olemqsumkj  10761  seq3f1olemqsumk  10762  seqf1oglem1  10769  seqf1oglem2  10770  bcp1nk  11012  bcval5  11013  hashfz  11072  swrds1  11236  resqrexlemdecn  11560  telfsumo  12014  fsumparts  12018  binomlem  12031  geo2sum  12062  cvgratnnlemseq  12074  cvgratnnlemabsle  12075  cvgratnnlemsumlt  12076  cvgratnnlemrate  12078  cvgratz  12080  mertenslemub  12082  mertenslemi1  12083  clim2prod  12087  clim2divap  12088  fprodntrivap  12132  fprodeq0  12165  dvdsfac  12408  2tp1odd  12432  opoe  12443  bits0o  12498  bitsp1o  12501  bitsinv1lem  12509  bitsinv1  12510  prmind2  12679  hashdvds  12780  eulerthlemrprm  12788  pcprendvds  12850  nninfdclemcl  13056  nninfdclemp1  13058  gsumsplit1r  13468  gsumprval  13469  gsumfzfsumlemm  14588  elply2  15446  wilthlem1  15691  perfectlem2  15711  perfect  15712  lgslem1  15716  lgsval  15720  lgsfvalg  15721  lgsval2lem  15726  lgsvalmod  15735  gausslemma2dlem5a  15781  gausslemma2dlem5  15782  gausslemma2dlem6  15783  lgseisenlem1  15786  lgsquadlem1  15793  lgsquadlem2  15794  m1lgs  15801  2lgslem1a  15804  2lgslem1  15807  2lgslem3c  15811  2lgslem3d  15812  2lgslem3b1  15814  2lgslem3c1  15815  wlk1walkdom  16147  cvgcmp2nlemabs  16546