Theorem peano2zd 9775

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9684	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   ZZcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  elfzp1  10489  fznatpl1  10493  fzdifsuc  10498  fseq1p1m1  10511  zsupcllemstep  10672  suprzubdc  10681  flqge  10729  flapge  10730  2tnp1ge0ge0  10749  ceiqm1l  10761  addmodlteq  10848  frec2uzzd  10850  frec2uzrdg  10859  uzsinds  10894  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsumk  10962  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  bcp1nk  11214  bcval5  11215  hashfz  11276  swrds1  11454  resqrexlemdecn  11792  telfsumo  12249  fsumparts  12253  binomlem  12266  geo2sum  12297  cvgratnnlemseq  12309  cvgratnnlemabsle  12310  cvgratnnlemsumlt  12311  cvgratnnlemrate  12313  cvgratz  12315  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  clim2prod  12322  clim2divap  12323  fprodntrivap  12367  fprodeq0  12400  dvdsfac  12643  2tp1odd  12667  opoe  12678  bits0o  12733  bitsp1o  12736  bitsinv1lem  12744  bitsinv1  12745  prmind2  12914  hashdvds  13019  eulerthlemrprm  13027  pcprendvds  13089  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemsv  13302  ballotfilemsf1o  13306  ballotfilemsima  13308  nninfdclemcl  13388  nninfdclemp1  13390  gzsumsplit1r  13764  elply2  15885  birthdaylem2  16145  wilthlem1  16151  ppidif  16175  perfectlem2  16198  perfect  16199  bcmono  16202  lgslem1  16217  lgsval  16221  lgsfvalg  16222  lgsval2lem  16227  lgsvalmod  16236  gausslemma2dlem5a  16282  gausslemma2dlem5  16283  gausslemma2dlem6  16284  lgseisenlem1  16287  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  m1lgs  16302  2lgslem1a  16305  2lgslem1  16308  2lgslem3c  16312  2lgslem3d  16313  2lgslem3b1  16315  2lgslem3c1  16316  wlk1walkdom  16698  cvgcmp2nlemabs  17179