Theorem peano2zd 9533

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9443	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   1c1 7961   + caddc 7963   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  elfzp1  10229  fznatpl1  10233  fzdifsuc  10238  fseq1p1m1  10251  zsupcllemstep  10409  suprzubdc  10416  flqge  10462  2tnp1ge0ge0  10481  ceiqm1l  10493  addmodlteq  10580  frec2uzzd  10582  frec2uzrdg  10591  uzsinds  10626  seq3f1olemqsumkj  10693  seq3f1olemqsumk  10694  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  bcp1nk  10944  bcval5  10945  hashfz  11003  swrds1  11159  resqrexlemdecn  11438  telfsumo  11892  fsumparts  11896  binomlem  11909  geo2sum  11940  cvgratnnlemseq  11952  cvgratnnlemabsle  11953  cvgratnnlemsumlt  11954  cvgratnnlemrate  11956  cvgratz  11958  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  clim2prod  11965  clim2divap  11966  fprodntrivap  12010  fprodeq0  12043  dvdsfac  12286  2tp1odd  12310  opoe  12321  bits0o  12376  bitsp1o  12379  bitsinv1lem  12387  bitsinv1  12388  prmind2  12557  hashdvds  12658  eulerthlemrprm  12666  pcprendvds  12728  nninfdclemcl  12934  nninfdclemp1  12936  gsumsplit1r  13345  gsumprval  13346  gsumfzfsumlemm  14464  elply2  15322  wilthlem1  15567  perfectlem2  15587  perfect  15588  lgslem1  15592  lgsval  15596  lgsfvalg  15597  lgsval2lem  15602  lgsvalmod  15611  gausslemma2dlem5a  15657  gausslemma2dlem5  15658  gausslemma2dlem6  15659  lgseisenlem1  15662  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  m1lgs  15677  2lgslem1a  15680  2lgslem1  15683  2lgslem3c  15687  2lgslem3d  15688  2lgslem3b1  15690  2lgslem3c1  15691  cvgcmp2nlemabs  16173