Theorem peano2zd 9500

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9410	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   1c1 7928   + caddc 7930   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by:  elfzp1  10196  fznatpl1  10200  fzdifsuc  10205  fseq1p1m1  10218  zsupcllemstep  10374  suprzubdc  10381  flqge  10427  2tnp1ge0ge0  10446  ceiqm1l  10458  addmodlteq  10545  frec2uzzd  10547  frec2uzrdg  10556  uzsinds  10591  seq3f1olemqsumkj  10658  seq3f1olemqsumk  10659  seqf1oglem1  10666  seqf1oglem2  10667  bcp1nk  10909  bcval5  10910  hashfz  10968  swrds1  11124  resqrexlemdecn  11356  telfsumo  11810  fsumparts  11814  binomlem  11827  geo2sum  11858  cvgratnnlemseq  11870  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemsumlt  11872  cvgratnnlemrate  11874  cvgratz  11876  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  clim2prod  11883  clim2divap  11884  fprodntrivap  11928  fprodeq0  11961  dvdsfac  12204  2tp1odd  12228  opoe  12239  bits0o  12294  bitsp1o  12297  bitsinv1lem  12305  bitsinv1  12306  prmind2  12475  hashdvds  12576  eulerthlemrprm  12584  pcprendvds  12646  nninfdclemcl  12852  nninfdclemp1  12854  gsumsplit1r  13263  gsumprval  13264  gsumfzfsumlemm  14382  elply2  15240  wilthlem1  15485  perfectlem2  15505  perfect  15506  lgslem1  15510  lgsval  15514  lgsfvalg  15515  lgsval2lem  15520  lgsvalmod  15529  gausslemma2dlem5a  15575  gausslemma2dlem5  15576  gausslemma2dlem6  15577  lgseisenlem1  15580  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  m1lgs  15595  2lgslem1a  15598  2lgslem1  15601  2lgslem3c  15605  2lgslem3d  15606  2lgslem3b1  15608  2lgslem3c1  15609  cvgcmp2nlemabs  16008