Theorem peano2zd 9706

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9615	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   1c1 8130   + caddc 8132   ZZcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580

This theorem is referenced by:  elfzp1  10410  fznatpl1  10414  fzdifsuc  10419  fseq1p1m1  10432  zsupcllemstep  10593  suprzubdc  10600  flqge  10646  2tnp1ge0ge0  10665  ceiqm1l  10677  addmodlteq  10764  frec2uzzd  10766  frec2uzrdg  10775  uzsinds  10810  seq3f1olemqsumkj  10877  seq3f1olemqsumk  10878  seqf1oglem1  10885  seqf1oglem2  10886  bcp1nk  11128  bcval5  11129  hashfz  11190  swrds1  11364  resqrexlemdecn  11701  telfsumo  12156  fsumparts  12160  binomlem  12173  geo2sum  12204  cvgratnnlemseq  12216  cvgratnnlemabsle  12217  cvgratnnlemsumlt  12218  cvgratnnlemrate  12220  cvgratz  12222  mertenslemub  12224  mertenslemi1  12225  clim2prod  12229  clim2divap  12230  fprodntrivap  12274  fprodeq0  12307  dvdsfac  12550  2tp1odd  12574  opoe  12585  bits0o  12640  bitsp1o  12643  bitsinv1lem  12651  bitsinv1  12652  prmind2  12821  hashdvds  12922  eulerthlemrprm  12930  pcprendvds  12992  ballotfilemfc0  13153  ballotfilemfcc  13154  nninfdclemcl  13216  nninfdclemp1  13218  gsumsplit1r  13628  gsumprval  13629  gsumfzfsumlemm  14752  elply2  15617  wilthlem1  15865  perfectlem2  15885  perfect  15886  lgslem1  15890  lgsval  15894  lgsfvalg  15895  lgsval2lem  15900  lgsvalmod  15909  gausslemma2dlem5a  15955  gausslemma2dlem5  15956  gausslemma2dlem6  15957  lgseisenlem1  15960  lgsquadlem1  15967  lgsquadlem2  15968  m1lgs  15975  2lgslem1a  15978  2lgslem1  15981  2lgslem3c  15985  2lgslem3d  15986  2lgslem3b1  15988  2lgslem3c1  15989  wlk1walkdom  16371  cvgcmp2nlemabs  16833