Theorem peano2zd 9378

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9289	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   1c1 7812   + caddc 7814   ZZcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  elfzp1  10072  fznatpl1  10076  fzdifsuc  10081  fseq1p1m1  10094  flqge  10282  2tnp1ge0ge0  10301  ceiqm1l  10311  addmodlteq  10398  frec2uzzd  10400  frec2uzrdg  10409  uzsinds  10442  seq3f1olemqsumkj  10498  seq3f1olemqsumk  10499  bcp1nk  10742  bcval5  10743  hashfz  10801  resqrexlemdecn  11021  telfsumo  11474  fsumparts  11478  binomlem  11491  geo2sum  11522  cvgratnnlemseq  11534  cvgratnnlemabsle  11535  cvgratnnlemsumlt  11536  cvgratnnlemrate  11538  cvgratz  11540  mertenslemub  11542  mertenslemi1  11543  clim2prod  11547  clim2divap  11548  fprodntrivap  11592  fprodeq0  11625  dvdsfac  11866  2tp1odd  11889  opoe  11900  zsupcllemstep  11946  suprzubdc  11953  prmind2  12120  hashdvds  12221  eulerthlemrprm  12229  pcprendvds  12290  nninfdclemcl  12449  nninfdclemp1  12451  lgslem1  14404  lgsval  14408  lgsfvalg  14409  lgsval2lem  14414  lgsvalmod  14423  lgseisenlem1  14453  m1lgs  14455  cvgcmp2nlemabs  14783