Theorem peano2zd 9377

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9288	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5874   1c1 7811   + caddc 7813   ZZcz 9252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253

This theorem is referenced by:  elfzp1  10071  fznatpl1  10075  fzdifsuc  10080  fseq1p1m1  10093  flqge  10281  2tnp1ge0ge0  10300  ceiqm1l  10310  addmodlteq  10397  frec2uzzd  10399  frec2uzrdg  10408  uzsinds  10441  seq3f1olemqsumkj  10497  seq3f1olemqsumk  10498  bcp1nk  10741  bcval5  10742  hashfz  10800  resqrexlemdecn  11020  telfsumo  11473  fsumparts  11477  binomlem  11490  geo2sum  11521  cvgratnnlemseq  11533  cvgratnnlemabsle  11534  cvgratnnlemsumlt  11535  cvgratnnlemrate  11537  cvgratz  11539  mertenslemub  11541  mertenslemi1  11542  clim2prod  11546  clim2divap  11547  fprodntrivap  11591  fprodeq0  11624  dvdsfac  11865  2tp1odd  11888  opoe  11899  zsupcllemstep  11945  suprzubdc  11952  prmind2  12119  hashdvds  12220  eulerthlemrprm  12228  pcprendvds  12289  nninfdclemcl  12448  nninfdclemp1  12450  lgslem1  14371  lgsval  14375  lgsfvalg  14376  lgsval2lem  14381  lgsvalmod  14390  lgseisenlem1  14420  m1lgs  14422  cvgcmp2nlemabs  14750