Theorem peano2zd 9782

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9691	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  elfzp1  10496  fznatpl1  10500  fzdifsuc  10505  fseq1p1m1  10518  zsupcllemstep  10679  suprzubdc  10688  flqge  10736  flapge  10737  2tnp1ge0ge0  10757  ceiqm1l  10769  addmodlteq  10856  frec2uzzd  10858  frec2uzrdg  10867  uzsinds  10902  seq3f1olemqsumkj  10969  seq3f1olemqsumk  10970  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  bcp1nk  11222  bcval5  11223  hashfz  11284  swrds1  11462  resqrexlemdecn  11800  telfsumo  12258  fsumparts  12262  binomlem  12275  geo2sum  12306  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemsumlt  12320  cvgratnnlemrate  12322  cvgratz  12324  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  clim2prod  12331  clim2divap  12332  fprodntrivap  12376  fprodeq0  12409  dvdsfac  12652  2tp1odd  12676  opoe  12687  bits0o  12742  bitsp1o  12745  bitsinv1lem  12753  bitsinv1  12754  prmind2  12923  hashdvds  13028  eulerthlemrprm  13036  pcprendvds  13098  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemsv  13311  ballotfilemsf1o  13315  ballotfilemsima  13317  nninfdclemcl  13397  nninfdclemp1  13399  gzsumsplit1r  13774  elply2  15961  birthdaylem2  16226  wilthlem1  16232  chtdif  16264  efchtqdvds  16265  ppidif  16269  chtqub  16296  perfectlem2  16300  perfect  16301  bcmono  16304  bpos  16320  lgslem1  16324  lgsval  16328  lgsfvalg  16329  lgsval2lem  16334  lgsvalmod  16343  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem5  16390  gausslemma2dlem6  16391  lgseisenlem1  16394  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  m1lgs  16409  2lgslem1a  16412  2lgslem1  16415  2lgslem3c  16419  2lgslem3d  16420  2lgslem3b1  16422  2lgslem3c1  16423  wlk1walkdom  16805  cvgcmp2nlemabs  17287