Theorem peano2zd 9376

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9287	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5874   1c1 7811   + caddc 7813   ZZcz 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252

This theorem is referenced by:  elfzp1  10069  fznatpl1  10073  fzdifsuc  10078  fseq1p1m1  10091  flqge  10279  2tnp1ge0ge0  10298  ceiqm1l  10308  addmodlteq  10395  frec2uzzd  10397  frec2uzrdg  10406  uzsinds  10439  seq3f1olemqsumkj  10495  seq3f1olemqsumk  10496  bcp1nk  10737  bcval5  10738  hashfz  10796  resqrexlemdecn  11016  telfsumo  11469  fsumparts  11473  binomlem  11486  geo2sum  11517  cvgratnnlemseq  11529  cvgratnnlemabsle  11530  cvgratnnlemsumlt  11531  cvgratnnlemrate  11533  cvgratz  11535  mertenslemub  11537  mertenslemi1  11538  clim2prod  11542  clim2divap  11543  fprodntrivap  11587  fprodeq0  11620  dvdsfac  11860  2tp1odd  11883  opoe  11894  zsupcllemstep  11940  suprzubdc  11947  prmind2  12114  hashdvds  12215  eulerthlemrprm  12223  pcprendvds  12284  nninfdclemcl  12443  nninfdclemp1  12445  lgslem1  14294  lgsval  14298  lgsfvalg  14299  lgsval2lem  14304  lgsvalmod  14313  cvgcmp2nlemabs  14662