Theorem peano2zd 9776

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9685	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   1c1 8181   + caddc 8183   ZZcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  elfzp1  10490  fznatpl1  10494  fzdifsuc  10499  fseq1p1m1  10512  zsupcllemstep  10673  suprzubdc  10682  flqge  10730  flapge  10731  2tnp1ge0ge0  10751  ceiqm1l  10763  addmodlteq  10850  frec2uzzd  10852  frec2uzrdg  10861  uzsinds  10896  seq3f1olemqsumkj  10963  seq3f1olemqsumk  10964  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  bcp1nk  11216  bcval5  11217  hashfz  11278  swrds1  11456  resqrexlemdecn  11794  telfsumo  12252  fsumparts  12256  binomlem  12269  geo2sum  12300  cvgratnnlemseq  12312  cvgratnnlemabsle  12313  cvgratnnlemsumlt  12314  cvgratnnlemrate  12316  cvgratz  12318  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  clim2prod  12325  clim2divap  12326  fprodntrivap  12370  fprodeq0  12403  dvdsfac  12646  2tp1odd  12670  opoe  12681  bits0o  12736  bitsp1o  12739  bitsinv1lem  12747  bitsinv1  12748  prmind2  12917  hashdvds  13022  eulerthlemrprm  13030  pcprendvds  13092  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemsv  13305  ballotfilemsf1o  13309  ballotfilemsima  13311  nninfdclemcl  13391  nninfdclemp1  13393  gzsumsplit1r  13768  elply2  15927  birthdaylem2  16187  wilthlem1  16193  chtdif  16225  efchtqdvds  16226  ppidif  16230  chtqub  16257  perfectlem2  16261  perfect  16262  bcmono  16265  bpos  16281  lgslem1  16285  lgsval  16289  lgsfvalg  16290  lgsval2lem  16295  lgsvalmod  16304  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem5  16351  gausslemma2dlem6  16352  lgseisenlem1  16355  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  m1lgs  16370  2lgslem1a  16373  2lgslem1  16376  2lgslem3c  16380  2lgslem3d  16381  2lgslem3b1  16383  2lgslem3c1  16384  wlk1walkdom  16766  cvgcmp2nlemabs  17247