Theorem peano2zd 9666

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9576	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   1c1 8093   + caddc 8095   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  elfzp1  10369  fznatpl1  10373  fzdifsuc  10378  fseq1p1m1  10391  zsupcllemstep  10552  suprzubdc  10559  flqge  10605  2tnp1ge0ge0  10624  ceiqm1l  10636  addmodlteq  10723  frec2uzzd  10725  frec2uzrdg  10734  uzsinds  10769  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsumk  10837  seqf1oglem1  10844  seqf1oglem2  10845  bcp1nk  11087  bcval5  11088  hashfz  11148  swrds1  11315  resqrexlemdecn  11652  telfsumo  12107  fsumparts  12111  binomlem  12124  geo2sum  12155  cvgratnnlemseq  12167  cvgratnnlemabsle  12168  cvgratnnlemsumlt  12169  cvgratnnlemrate  12171  cvgratz  12173  mertenslemub  12175  mertenslemi1  12176  clim2prod  12180  clim2divap  12181  fprodntrivap  12225  fprodeq0  12258  dvdsfac  12501  2tp1odd  12525  opoe  12536  bits0o  12591  bitsp1o  12594  bitsinv1lem  12602  bitsinv1  12603  prmind2  12772  hashdvds  12873  eulerthlemrprm  12881  pcprendvds  12943  nninfdclemcl  13149  nninfdclemp1  13151  gsumsplit1r  13561  gsumprval  13562  gsumfzfsumlemm  14683  elply2  15546  wilthlem1  15794  perfectlem2  15814  perfect  15815  lgslem1  15819  lgsval  15823  lgsfvalg  15824  lgsval2lem  15829  lgsvalmod  15838  gausslemma2dlem5a  15884  gausslemma2dlem5  15885  gausslemma2dlem6  15886  lgseisenlem1  15889  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  m1lgs  15904  2lgslem1a  15907  2lgslem1  15910  2lgslem3c  15914  2lgslem3d  15915  2lgslem3b1  15917  2lgslem3c1  15918  wlk1walkdom  16300  cvgcmp2nlemabs  16764