Theorem peano2zd 9572

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9482	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   1c1 8000   + caddc 8002   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  elfzp1  10268  fznatpl1  10272  fzdifsuc  10277  fseq1p1m1  10290  zsupcllemstep  10449  suprzubdc  10456  flqge  10502  2tnp1ge0ge0  10521  ceiqm1l  10533  addmodlteq  10620  frec2uzzd  10622  frec2uzrdg  10631  uzsinds  10666  seq3f1olemqsumkj  10733  seq3f1olemqsumk  10734  seqf1oglem1  10741  seqf1oglem2  10742  bcp1nk  10984  bcval5  10985  hashfz  11043  swrds1  11200  resqrexlemdecn  11523  telfsumo  11977  fsumparts  11981  binomlem  11994  geo2sum  12025  cvgratnnlemseq  12037  cvgratnnlemabsle  12038  cvgratnnlemsumlt  12039  cvgratnnlemrate  12041  cvgratz  12043  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  clim2prod  12050  clim2divap  12051  fprodntrivap  12095  fprodeq0  12128  dvdsfac  12371  2tp1odd  12395  opoe  12406  bits0o  12461  bitsp1o  12464  bitsinv1lem  12472  bitsinv1  12473  prmind2  12642  hashdvds  12743  eulerthlemrprm  12751  pcprendvds  12813  nninfdclemcl  13019  nninfdclemp1  13021  gsumsplit1r  13431  gsumprval  13432  gsumfzfsumlemm  14551  elply2  15409  wilthlem1  15654  perfectlem2  15674  perfect  15675  lgslem1  15679  lgsval  15683  lgsfvalg  15684  lgsval2lem  15689  lgsvalmod  15698  gausslemma2dlem5a  15744  gausslemma2dlem5  15745  gausslemma2dlem6  15746  lgseisenlem1  15749  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  m1lgs  15764  2lgslem1a  15767  2lgslem1  15770  2lgslem3c  15774  2lgslem3d  15775  2lgslem3b1  15777  2lgslem3c1  15778  wlk1walkdom  16070  cvgcmp2nlemabs  16400