Theorem peano2zd 9451

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 9362	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   1c1 7880   + caddc 7882   ZZcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  elfzp1  10147  fznatpl1  10151  fzdifsuc  10156  fseq1p1m1  10169  zsupcllemstep  10319  suprzubdc  10326  flqge  10372  2tnp1ge0ge0  10391  ceiqm1l  10403  addmodlteq  10490  frec2uzzd  10492  frec2uzrdg  10501  uzsinds  10536  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  bcp1nk  10854  bcval5  10855  hashfz  10913  resqrexlemdecn  11177  telfsumo  11631  fsumparts  11635  binomlem  11648  geo2sum  11679  cvgratnnlemseq  11691  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemsumlt  11693  cvgratnnlemrate  11695  cvgratz  11697  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  clim2prod  11704  clim2divap  11705  fprodntrivap  11749  fprodeq0  11782  dvdsfac  12025  2tp1odd  12049  opoe  12060  bits0o  12114  bitsp1o  12117  prmind2  12288  hashdvds  12389  eulerthlemrprm  12397  pcprendvds  12459  nninfdclemcl  12665  nninfdclemp1  12667  gsumsplit1r  13041  gsumprval  13042  gsumfzfsumlemm  14143  elply2  14971  wilthlem1  15216  perfectlem2  15236  perfect  15237  lgslem1  15241  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgsval2lem  15251  lgsvalmod  15260  gausslemma2dlem5a  15306  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308  lgseisenlem1  15311  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  m1lgs  15326  2lgslem1a  15329  2lgslem1  15332  2lgslem3c  15336  2lgslem3d  15337  2lgslem3b1  15339  2lgslem3c1  15340  cvgcmp2nlemabs  15676