Theorem elfzp1 9883

Description: Append an element to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))

Proof of Theorem elfzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsuc 9880	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
2	1	eleq2d 2210	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ 𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
3		elun 3222	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)}))
4		eluzelz 9359	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9200	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6		elsn2g 3565	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
8	7	orbi2d 780	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
9	3, 8	syl5bb 191	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
10	2, 9	bitrd 187	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3074  {csn 3532  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  1c1 7645   + caddc 7647  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  fzpr  9888  fzm1  9911