Theorem elfzp1 10066

Description: Append an element to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))

Proof of Theorem elfzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsuc 10063	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
2	1	eleq2d 2247	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ 𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
3		elun 3276	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)}))
4		eluzelz 9532	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6		elsn2g 3625	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
8	7	orbi2d 790	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
9	3, 8	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
10	2, 9	bitrd 188	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3127  {csn 3592  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  1c1 7808   + caddc 7810  ℤcz 9248  ℤ_≥cuz 9523  ...cfz 10003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-fz 10004

This theorem is referenced by:  fzpr  10071  fzm1  10094