Theorem elfzp1 9635

Description: Append an element to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))

Proof of Theorem elfzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsuc 9632	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
2	1	eleq2d 2164	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ 𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})))
3		elun 3156	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)}))
4		eluzelz 9127	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 8970	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6		elsn2g 3497	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
8	7	orbi2d 742	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
9	3, 8	syl5bb 191	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
10	2, 9	bitrd 187	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 667   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   ∪ cun 3011  {csn 3466  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  1c1 7448   + caddc 7450  ℤcz 8848  ℤ_≥cuz 9118  ...cfz 9573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574

This theorem is referenced by:  fzpr  9640  fzm1  9663