Theorem eluzaddi 9567

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
eluzaddi.2	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
eluzaddi	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9550	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzaddi.2	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
3		zaddcl 9306	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
5		eluzaddi.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6	5	eluz1i 9548	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
7		zre 9270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	5	zrei 9272	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
9	2	zrei 9272	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
10		leadd1 8400	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
11	8, 9, 10	mp3an13 1338	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
13	12	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
14	6, 13	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
15		zaddcl 9306	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
16	5, 2, 15	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
17	16	eluz1i 9548	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
18	4, 14, 17	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℝcr 7823   + caddc 7827   ≤ cle 8006  ℤcz 9266  ℤ_≥cuz 9541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542

This theorem is referenced by: (None)