Theorem eluzaddi 9106

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
eluzaddi.2	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
eluzaddi	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9089	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzaddi.2	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
3		zaddcl 8851	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancl 405	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
5		eluzaddi.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6	5	eluz1i 9087	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
7		zre 8815	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	5	zrei 8817	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
9	2	zrei 8817	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
10		leadd1 7969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
11	8, 9, 10	mp3an13 1265	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
13	12	biimpa 291	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
14	6, 13	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
15		zaddcl 8851	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
16	5, 2, 15	mp2an 418	. . 3 ⊢ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
17	16	eluz1i 9087	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
18	4, 14, 17	sylanbrc 409	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℝcr 7410   + caddc 7414   ≤ cle 7584  ℤcz 8811  ℤ_≥cuz 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081

This theorem is referenced by: (None)