ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzaddi GIF version

Theorem eluzaddi 9572
Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzaddi.1 𝑀 ∈ ℤ
eluzaddi.2 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
eluzaddi (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzaddi
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9555 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 eluzaddi.2 . . 3 𝐾 ∈ ℤ
3 zaddcl 9311 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
41, 2, 3sylancl 413 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
5 eluzaddi.1 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
65eluz1i 9553 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
7 zre 9275 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
85zrei 9277 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℝ
92zrei 9277 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℝ
10 leadd1 8405 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
118, 9, 10mp3an13 1339 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
127, 11syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
1312biimpa 296 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
146, 13sylbi 121 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
15 zaddcl 9311 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
165, 2, 15mp2an 426 . . 3 (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
1716eluz1i 9553 . 2 ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
184, 14, 17sylanbrc 417 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5231  (class class class)co 5891  cr 7828   + caddc 7832  cle 8011  cz 9271  cuz 9546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator