Theorem eqfnfvd 5809

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 5806	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385

This theorem is used by:  foeqcnvco  5996  f1eqcocnv  5997  offeq  6316  tfrlem1  6579  frecrdg  6679  updjudhcoinlf  7420  updjudhcoinrg  7421  nnnninfeq  7468  seq3val  10897  seqvalcd  10898  seq3feq2  10913  seq3feq  10917  seqfeq3  10966  ccatlid  11374  ccatrid  11375  ccatass  11376  ccatswrd  11442  swrdccat2  11443  pfxid  11458  ccatpfx  11473  pfxccat1  11474  swrdswrd  11477  cats1un  11493  swrdccatin1  11497  swrdccatin2  11501  pfxccatin12  11505  seq3shft  11603  efcvgfsum  12434  nninfctlemfo  12817  xpsfeq  13666  gsumf1ofi  14160  upxp  15373  uptx  15375  dvidlemap  15792  dvidrelem  15793  dvidsslem  15794  dvrecap  15814  depindlem3  16749  peano4nninf  17049  nninfsellemeqinf  17059  nninffeq  17063  refeq  17073