ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd GIF version

Theorem eqfnfvd 5489
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
21ralrimiva 2482 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3 eqfnfvd.1 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
4 eqfnfvd.2 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
5 eqfnfv 5486 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
63, 4, 5syl2anc 408 . 2 (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
72, 6mpbird 166 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393   Fn wfn 5088  cfv 5093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  5659  f1eqcocnv  5660  offeq  5963  tfrlem1  6173  frecrdg  6273  updjudhcoinlf  6933  updjudhcoinrg  6934  seq3val  10199  seqvalcd  10200  seq3feq2  10211  seq3feq  10213  seqfeq3  10253  seq3shft  10578  efcvgfsum  11300  upxp  12368  uptx  12370  dvidlemap  12756  dvrecap  12773  peano4nninf  13127  nninfalllemn  13129  nninfsellemeqinf  13139  nninffeq  13143  refeq  13150
  Copyright terms: Public domain W3C validator