Theorem seq3feq 9897

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3feq.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3feq.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3feq.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
seq3feq.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3feq	|- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = seq M ( .+ , G ) )

Distinct variable groups:   .+ , k, x, y   k, F, x, y   k, G, x, y   k, M, x, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Proof of Theorem seq3feq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3feq.1	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seq3feq.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
3		seq3feq.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
4		seq3feq.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
5	1, 2, 3, 4	iseqfeq 9896	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = seq M ( .+ , G , S ) )
6		ssv 3046	. . . . 5 |- S C_ _V
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> S C_ _V )
8	1, 7, 2, 4	iseqsst 9886	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = seq M ( .+ , F , _V ) )
9		df-seq3 9854	. . 3 |- seq M ( .+ , F ) = seq M ( .+ , F , _V )
10	8, 9	syl6eqr 2138	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = seq M ( .+ , F ) )
11		fveq2 5305	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
12		fveq2 5305	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
13	11, 12	eqeq12d 2102	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) = ( G ` k ) <-> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
14	3	ralrimiva 2446	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) = ( G ` k ) )
15	14	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) = ( G ` k ) )
16		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
17	13, 15, 16	rspcdva 2727	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
18	17, 2	eqeltrrd 2165	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
19	1, 7, 18, 4	iseqsst 9886	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , G , S ) = seq M ( .+ , G , _V ) )
20		df-seq3 9854	. . 3 |- seq M ( .+ , G ) = seq M ( .+ , G , _V )
21	19, 20	syl6eqr 2138	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , G , S ) = seq M ( .+ , G ) )
22	5, 10, 21	3eqtr3d 2128	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = seq M ( .+ , G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   C_ wss 2999   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   seqcseq4 9851   seqcseq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-iseq 9853  df-seq3 9854

This theorem is referenced by:  fsum3cvg2  10787  isumshft  10884  geolim2  10906  cvgratz  10926  mertenslem2  10930