ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3feq Unicode version

Theorem seq3feq 9897
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3feq.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
seq3feq.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seq3feq.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
seq3feq.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seq3feq  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq M (  .+  ,  G ) )
Distinct variable groups:    .+ , k, x, y    k, F, x, y    k, G, x, y    k, M, x, y    S, k, x, y    ph, k, x, y

Proof of Theorem seq3feq
StepHypRef Expression
1 seq3feq.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 seq3feq.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
3 seq3feq.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
4 seq3feq.pl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
51, 2, 3, 4iseqfeq 9896 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) )
6 ssv 3046 . . . . 5  |-  S  C_  _V
76a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  _V )
81, 7, 2, 4iseqsst 9886 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  seq M ( 
.+  ,  F ,  _V ) )
9 df-seq3 9854 . . 3  |-  seq M
(  .+  ,  F
)  =  seq M
(  .+  ,  F ,  _V )
108, 9syl6eqr 2138 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  seq M ( 
.+  ,  F ) )
11 fveq2 5305 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
12 fveq2 5305 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
1311, 12eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
143ralrimiva 2446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
1514adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
16 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1713, 15, 16rspcdva 2727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
1817, 2eqeltrrd 2165 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
191, 7, 18, 4iseqsst 9886 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  G ,  S )  =  seq M ( 
.+  ,  G ,  _V ) )
20 df-seq3 9854 . . 3  |-  seq M
(  .+  ,  G
)  =  seq M
(  .+  ,  G ,  _V )
2119, 20syl6eqr 2138 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  G ,  S )  =  seq M ( 
.+  ,  G ) )
225, 10, 213eqtr3d 2128 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq M (  .+  ,  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619    C_ wss 2999   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019    seqcseq4 9851    seqcseq 9852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-iseq 9853  df-seq3 9854
This theorem is referenced by:  fsum3cvg2  10787  isumshft  10884  geolim2  10906  cvgratz  10926  mertenslem2  10930
  Copyright terms: Public domain W3C validator