ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fodjuf GIF version

Theorem fodjuf 7161
Description: Lemma for fodjuomni 7165 and fodjumkv 7176. Domain and range of 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fodjuf.fo (𝜑𝐹:𝑂onto→(𝐴𝐵))
fodjuf.p 𝑃 = (𝑦𝑂 ↦ if(∃𝑧𝐴 (𝐹𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
fodjuf.o (𝜑𝑂𝑉)
Assertion
Ref Expression
fodjuf (𝜑𝑃 ∈ (2o𝑚 𝑂))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑂,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fodjuf
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6460 . . . . 5 ∅ ∈ 2o
21a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑂) → ∅ ∈ 2o)
3 1lt2o 6461 . . . . 5 1o ∈ 2o
43a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑂) → 1o ∈ 2o)
5 fodjuf.fo . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑂onto→(𝐴𝐵))
65fodjuomnilemdc 7160 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑂) → DECID𝑧𝐴 (𝐹𝑦) = (inl‘𝑧))
72, 4, 6ifcldcd 3585 . . 3 ((𝜑𝑦𝑂) → if(∃𝑧𝐴 (𝐹𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o) ∈ 2o)
8 fodjuf.p . . 3 𝑃 = (𝑦𝑂 ↦ if(∃𝑧𝐴 (𝐹𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
97, 8fmptd 5686 . 2 (𝜑𝑃:𝑂⟶2o)
10 2onn 6540 . . . 4 2o ∈ ω
1110a1i 9 . . 3 (𝜑 → 2o ∈ ω)
12 fodjuf.o . . 3 (𝜑𝑂𝑉)
1311, 12elmapd 6680 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o𝑚 𝑂) ↔ 𝑃:𝑂⟶2o))
149, 13mpbird 167 1 (𝜑𝑃 ∈ (2o𝑚 𝑂))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469  c0 3437  ifcif 3549  cmpt 4079  ωcom 4604  wf 5227  ontowfo 5229  cfv 5231  (class class class)co 5891  1oc1o 6428  2oc2o 6429  𝑚 cmap 6666  cdju 7054  inlcinl 7062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-1o 6435  df-2o 6436  df-map 6668  df-dju 7055  df-inl 7064  df-inr 7065
This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7164  fodjumkvlemres  7175
  Copyright terms: Public domain W3C validator