Theorem fodjuf 7404

Description: Lemma for fodjuomni 7408 and fodjumkv 7419. Domain and range of 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
fodjuf.p	⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
fodjuf.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑂,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6652	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6653	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → 1o ∈ 2o)
5		fodjuf.fo	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
6	5	fodjuomnilemdc 7403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → DECID ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧))
7	2, 4, 6	ifcldcd 3647	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o) ∈ 2o)
8		fodjuf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
9	7, 8	fmptd 5809	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑂⟶2o)
10		2onn 6732	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
12		fodjuf.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 6874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂) ↔ 𝑃:𝑂⟶2o))
14	9, 13	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512  ∅c0 3496  ifcif 3607   ↦ cmpt 4155  ωcom 4694  ⟶wf 5329  –onto→wfo 5331  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ↑_𝑚 cmap 6860   ⊔ cdju 7296  inlcinl 7304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-dju 7297  df-inl 7306  df-inr 7307

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7407  fodjumkvlemres  7418