Theorem fodjuf 7211

Description: Lemma for fodjuomni 7215 and fodjumkv 7226. Domain and range of 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
fodjuf.p	⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
fodjuf.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑂,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6499	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6500	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → 1o ∈ 2o)
5		fodjuf.fo	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
6	5	fodjuomnilemdc 7210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → DECID ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧))
7	2, 4, 6	ifcldcd 3597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o) ∈ 2o)
8		fodjuf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
9	7, 8	fmptd 5716	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑂⟶2o)
10		2onn 6579	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
12		fodjuf.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 6721	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂) ↔ 𝑃:𝑂⟶2o))
14	9, 13	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  ∅c0 3450  ifcif 3561   ↦ cmpt 4094  ωcom 4626  ⟶wf 5254  –onto→wfo 5256  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1_oc1o 6467  2_oc2o 6468   ↑_𝑚 cmap 6707   ⊔ cdju 7103  inlcinl 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7214  fodjumkvlemres  7225