Theorem fodjuf 7109

Description: Lemma for fodjuomni 7113 and fodjumkv 7124. Domain and range of 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
fodjuf.p	⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
fodjuf.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑂,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6409	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6410	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → 1o ∈ 2o)
5		fodjuf.fo	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
6	5	fodjuomnilemdc 7108	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → DECID ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧))
7	2, 4, 6	ifcldcd 3555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o) ∈ 2o)
8		fodjuf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
9	7, 8	fmptd 5639	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑂⟶2o)
10		2onn 6489	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
12		fodjuf.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 6628	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂) ↔ 𝑃:𝑂⟶2o))
14	9, 13	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445  ∅c0 3409  ifcif 3520   ↦ cmpt 4043  ωcom 4567  ⟶wf 5184  –onto→wfo 5186  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378   ↑_𝑚 cmap 6614   ⊔ cdju 7002  inlcinl 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7112  fodjumkvlemres  7123