Theorem fodjuf 6929

Description: Lemma for fodjuomni 6933 and fodjumkv 6945. Domain and range of 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
fodjuf.p	⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
fodjuf.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑂,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6268	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6269	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → 1o ∈ 2o)
5		fodjuf.fo	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
6	5	fodjuomnilemdc 6928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → DECID ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧))
7	2, 4, 6	ifcldcd 3454	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o) ∈ 2o)
8		fodjuf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
9	7, 8	fmptd 5506	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑂⟶2o)
10		2onn 6347	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
12		fodjuf.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 6486	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂) ↔ 𝑃:𝑂⟶2o))
14	9, 13	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∃wrex 2376  ∅c0 3310  ifcif 3421   ↦ cmpt 3929  ωcom 4442  ⟶wf 5055  –onto→wfo 5057  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  1_oc1o 6236  2_oc2o 6237   ↑_𝑚 cmap 6472   ⊔ cdju 6837  inlcinl 6845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-dju 6838  df-inl 6847  df-inr 6848

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  6932  fodjumkvlemres  6944