Theorem fodjuf 7475

Description: Lemma for fodjuomni 7479 and fodjumkv 7490. Domain and range of 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fodjuf.fo	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
fodjuf.p	⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
fodjuf.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fodjuf	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑂,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fodjuf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6704	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6705	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → 1o ∈ 2o)
5		fodjuf.fo	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑂–onto→(𝐴 ⊔ 𝐵))
6	5	fodjuomnilemdc 7474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → DECID ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧))
7	2, 4, 6	ifcldcd 3675	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o) ∈ 2o)
8		fodjuf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = (inl‘𝑧), ∅, 1o))
9	7, 8	fmptd 5853	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑂⟶2o)
10		2onn 6784	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
12		fodjuf.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
13	11, 12	elmapd 6926	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂) ↔ 𝑃:𝑂⟶2o))
14	9, 13	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ∅c0 3520  ifcif 3635   ↦ cmpt 4187  ωcom 4732  ⟶wf 5368  –onto→wfo 5370  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671   ↑_𝑚 cmap 6912   ⊔ cdju 7367  inlcinl 7375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378

This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  7478  fodjumkvlemres  7489