Theorem mnd1id 13088

Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1id	|- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )

Proof of Theorem mnd1id

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4217	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
2		opexg 4261	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
4		opexg 4261	. . . . . 6 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . 5 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
6		snexg 4217	. . . . 5 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
8		mnd1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
9	8	grpbaseg 12804	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
11	8	grpplusgg 12805	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
13		snidg 3651	. . 3 |- ( I e. V -> I e. { I } )
14		velsn 3639	. . . . 5 |- ( a e. { I } <-> a = I )
15		df-ov 5925	. . . . . . 7 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
16		fvsng 5758	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
17	3, 16	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
18	15, 17	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
19		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
20		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = I -> a = I )
21	19, 20	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( a = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a ) )
23	14, 22	biimtrid 152	. . . 4 |- ( I e. V -> ( a e. { I } -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a ) )
24	23	imp 124	. . 3 |- ( ( I e. V /\ a e. { I } ) -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a )
25		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
26	25, 20	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
27	18, 26	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a ) )
28	14, 27	biimtrid 152	. . . 4 |- ( I e. V -> ( a e. { I } -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a ) )
29	28	imp 124	. . 3 |- ( ( I e. V /\ a e. { I } ) -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a )
30	10, 12, 13, 24, 29	grpidd 13026	. 2 |- ( I e. V -> I = ( 0g ` M ) )
31	30	eqcomd 2202	1 |- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3622   {cpr 3623   <.cop 3625   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ndxcnx 12675   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929

This theorem is referenced by:  grp1  13238