Theorem mnd1id 13028

Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1id	|- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )

Proof of Theorem mnd1id

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4213	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
2		opexg 4257	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
4		opexg 4257	. . . . . 6 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . 5 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
6		snexg 4213	. . . . 5 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
8		mnd1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
9	8	grpbaseg 12744	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
11	8	grpplusgg 12745	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
13		snidg 3647	. . 3 |- ( I e. V -> I e. { I } )
14		velsn 3635	. . . . 5 |- ( a e. { I } <-> a = I )
15		df-ov 5921	. . . . . . 7 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
16		fvsng 5754	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
17	3, 16	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
18	15, 17	eqtrid 2238	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
19		oveq2 5926	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
20		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = I -> a = I )
21	19, 20	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( a = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a ) )
23	14, 22	biimtrid 152	. . . 4 |- ( I e. V -> ( a e. { I } -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a ) )
24	23	imp 124	. . 3 |- ( ( I e. V /\ a e. { I } ) -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a )
25		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
26	25, 20	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
27	18, 26	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a ) )
28	14, 27	biimtrid 152	. . . 4 |- ( I e. V -> ( a e. { I } -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a ) )
29	28	imp 124	. . 3 |- ( ( I e. V /\ a e. { I } ) -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a )
30	10, 12, 13, 24, 29	grpidd 12966	. 2 |- ( I e. V -> I = ( 0g ` M ) )
31	30	eqcomd 2199	1 |- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ndxcnx 12615   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869

This theorem is referenced by:  grp1  13178