Theorem mnd1id 13711

Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1id	|- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )

Proof of Theorem mnd1id

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4302	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
2		opexg 4349	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
4		opexg 4349	. . . . . 6 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . 5 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
6		snexg 4302	. . . . 5 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
8		mnd1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
9	8	grpbaseg 13424	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
11	8	grpplusgg 13425	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
13		snidg 3723	. . 3 |- ( I e. V -> I e. { I } )
14		velsn 3711	. . . . 5 |- ( a e. { I } <-> a = I )
15		df-ov 6061	. . . . . . 7 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
16		fvsng 5885	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
17	3, 16	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
18	15, 17	eqtrid 2279	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
19		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
20		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = I -> a = I )
21	19, 20	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( a = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a ) )
23	14, 22	biimtrid 152	. . . 4 |- ( I e. V -> ( a e. { I } -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a ) )
24	23	imp 124	. . 3 |- ( ( I e. V /\ a e. { I } ) -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a )
25		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
26	25, 20	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
27	18, 26	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a ) )
28	14, 27	biimtrid 152	. . . 4 |- ( I e. V -> ( a e. { I } -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a ) )
29	28	imp 124	. . 3 |- ( ( I e. V /\ a e. { I } ) -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a )
30	10, 12, 13, 24, 29	grpidd 13646	. 2 |- ( I e. V -> I = ( 0g ` M ) )
31	30	eqcomd 2240	1 |- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ndxcnx 13293   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555

This theorem is referenced by:  grp1  13861