Theorem mnd1id 13288

Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1id	|- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )

Proof of Theorem mnd1id

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4228	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
2		opexg 4272	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
4		opexg 4272	. . . . . 6 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . 5 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
6		snexg 4228	. . . . 5 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
8		mnd1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
9	8	grpbaseg 12959	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
11	8	grpplusgg 12960	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
13		snidg 3662	. . 3 |- ( I e. V -> I e. { I } )
14		velsn 3650	. . . . 5 |- ( a e. { I } <-> a = I )
15		df-ov 5947	. . . . . . 7 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
16		fvsng 5780	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
17	3, 16	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
18	15, 17	eqtrid 2250	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
19		oveq2 5952	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
20		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = I -> a = I )
21	19, 20	eqeq12d 2220	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( a = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a ) )
23	14, 22	biimtrid 152	. . . 4 |- ( I e. V -> ( a e. { I } -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a ) )
24	23	imp 124	. . 3 |- ( ( I e. V /\ a e. { I } ) -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } a ) = a )
25		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
26	25, 20	eqeq12d 2220	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
27	18, 26	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( a = I -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a ) )
28	14, 27	biimtrid 152	. . . 4 |- ( I e. V -> ( a e. { I } -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a ) )
29	28	imp 124	. . 3 |- ( ( I e. V /\ a e. { I } ) -> ( a { <. <. I , I >. , I >. } I ) = a )
30	10, 12, 13, 24, 29	grpidd 13215	. 2 |- ( I e. V -> I = ( 0g ` M ) )
31	30	eqcomd 2211	1 |- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   {cpr 3634   <.cop 3636   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ndxcnx 12829   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   0gc0g 13088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090

This theorem is referenced by:  grp1  13438