Theorem fz0tp 10463

Description: An integer range from 0 to 2 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0tp	|- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }

Proof of Theorem fz0tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9313	. . . . 5 |- 2 e. CC
2	1	addlidi 8421	. . . 4 |- ( 0 + 2 ) = 2
3	2	eqcomi 2238	. . 3 |- 2 = ( 0 + 2 )
4	3	oveq2i 6063	. 2 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( 0 + 2 ) )
5		0z 9593	. . 3 |- 0 e. ZZ
6		fztp 10419	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) }
8		eqid 2234	. . 3 |- 0 = 0
9		id 19	. . . 4 |- ( 0 = 0 -> 0 = 0 )
10		0p1e1 9356	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( 0 = 0 -> ( 0 + 1 ) = 1 )
12	2	a1i 9	. . . 4 |- ( 0 = 0 -> ( 0 + 2 ) = 2 )
13	9, 11, 12	tpeq123d 3785	. . 3 |- ( 0 = 0 -> { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 } )
14	8, 13	ax-mp 5	. 2 |- { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 }
15	4, 7, 14	3eqtri 2259	1 |- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   {ctp 3693  (class class class)co 6052   0cc0 8132   1c1 8133   + caddc 8135   2c2 9293   ZZcz 9582   ...cfz 10348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349

This theorem is referenced by: (None)