Theorem fz0tp 10531

Description: An integer range from 0 to 2 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0tp	|- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }

Proof of Theorem fz0tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9376	. . . . 5 |- 2 e. CC
2	1	addlidi 8469	. . . 4 |- ( 0 + 2 ) = 2
3	2	eqcomi 2242	. . 3 |- 2 = ( 0 + 2 )
4	3	oveq2i 6096	. 2 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( 0 + 2 ) )
5		0z 9657	. . 3 |- 0 e. ZZ
6		fztp 10487	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) }
8		eqid 2238	. . 3 |- 0 = 0
9		id 19	. . . 4 |- ( 0 = 0 -> 0 = 0 )
10		0p1e1 9419	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( 0 = 0 -> ( 0 + 1 ) = 1 )
12	2	a1i 9	. . . 4 |- ( 0 = 0 -> ( 0 + 2 ) = 2 )
13	9, 11, 12	tpeq123d 3803	. . 3 |- ( 0 = 0 -> { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 } )
14	8, 13	ax-mp 5	. 2 |- { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 }
15	4, 7, 14	3eqtri 2263	1 |- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   {ctp 3711  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   2c2 9356   ZZcz 9646   ...cfz 10413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414

This theorem is used by: (None)