Theorem fz0to3un2pr 10155

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	|- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9223	. . . 4 |- 1 e. NN0
2		3nn0 9225	. . . 4 |- 3 e. NN0
3		1le3 9161	. . . 4 |- 1 <_ 3
4		elfz2nn0 10144	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1181	. . 3 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
6		fzsplit 10083	. . 3 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) -> ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) )
8		1e0p1 9456	. . . . 5 |- 1 = ( 0 + 1 )
9	8	oveq2i 5908	. . . 4 |- ( 0 ... 1 ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
10		0z 9295	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
11		fzpr 10109	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
13		0p1e1 9064	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	13	preq2i 3688	. . . 4 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
15	9, 12, 14	3eqtri 2214	. . 3 |- ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
16		1p1e2 9067	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
17		df-3 9010	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	16, 17	oveq12i 5909	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
19		2z 9312	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
20		fzpr 10109	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
22		2p1e3 9083	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
23	22	preq2i 3688	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
24	18, 21, 23	3eqtri 2214	. . 3 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = { 2 , 3 }
25	15, 24	uneq12i 3302	. 2 |- ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
26	7, 25	eqtri 2210	1 |- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3142   {cpr 3608   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   0cc0 7842   1c1 7843   + caddc 7845   <_ cle 8024   2c2 9001   3c3 9002   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ...cfz 10040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041

This theorem is referenced by: (None)