Theorem fz0to3un2pr 10091

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	|- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9163	. . . 4 |- 1 e. NN0
2		3nn0 9165	. . . 4 |- 3 e. NN0
3		1le3 9101	. . . 4 |- 1 <_ 3
4		elfz2nn0 10080	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1179	. . 3 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
6		fzsplit 10019	. . 3 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) -> ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) )
8		1e0p1 9396	. . . . 5 |- 1 = ( 0 + 1 )
9	8	oveq2i 5876	. . . 4 |- ( 0 ... 1 ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
10		0z 9235	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
11		fzpr 10045	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
13		0p1e1 9004	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	13	preq2i 3670	. . . 4 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
15	9, 12, 14	3eqtri 2200	. . 3 |- ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
16		1p1e2 9007	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
17		df-3 8950	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	16, 17	oveq12i 5877	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
19		2z 9252	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
20		fzpr 10045	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
22		2p1e3 9023	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
23	22	preq2i 3670	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
24	18, 21, 23	3eqtri 2200	. . 3 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = { 2 , 3 }
25	15, 24	uneq12i 3285	. 2 |- ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
26	7, 25	eqtri 2196	1 |- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2146   u. cun 3125   {cpr 3590   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   <_ cle 7967   2c2 8941   3c3 8942   NN0cn0 9147   ZZcz 9224   ...cfz 9977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978

This theorem is referenced by: (None)