Theorem fz0to3un2pr 10457

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	|- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9512	. . . 4 |- 1 e. NN0
2		3nn0 9514	. . . 4 |- 3 e. NN0
3		1le3 9449	. . . 4 |- 1 <_ 3
4		elfz2nn0 10446	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1206	. . 3 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
6		fzsplit 10385	. . 3 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) -> ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) )
8		1e0p1 9750	. . . . 5 |- 1 = ( 0 + 1 )
9	8	oveq2i 6061	. . . 4 |- ( 0 ... 1 ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
10		0z 9588	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
11		fzpr 10411	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
13		0p1e1 9351	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	13	preq2i 3772	. . . 4 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
15	9, 12, 14	3eqtri 2257	. . 3 |- ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
16		1p1e2 9354	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
17		df-3 9297	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	16, 17	oveq12i 6062	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
19		2z 9605	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
20		fzpr 10411	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
22		2p1e3 9371	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
23	22	preq2i 3772	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
24	18, 21, 23	3eqtri 2257	. . 3 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = { 2 , 3 }
25	15, 24	uneq12i 3371	. 2 |- ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
26	7, 25	eqtri 2253	1 |- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3209   {cpr 3690   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   <_ cle 8309   2c2 9288   3c3 9289   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by: (None)