Theorem fz0to3un2pr 10054

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	|- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9126	. . . 4 |- 1 e. NN0
2		3nn0 9128	. . . 4 |- 3 e. NN0
3		1le3 9064	. . . 4 |- 1 <_ 3
4		elfz2nn0 10043	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1169	. . 3 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
6		fzsplit 9982	. . 3 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) -> ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) )
8		1e0p1 9359	. . . . 5 |- 1 = ( 0 + 1 )
9	8	oveq2i 5852	. . . 4 |- ( 0 ... 1 ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
10		0z 9198	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
11		fzpr 10008	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
13		0p1e1 8967	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	13	preq2i 3656	. . . 4 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
15	9, 12, 14	3eqtri 2190	. . 3 |- ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
16		1p1e2 8970	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
17		df-3 8913	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	16, 17	oveq12i 5853	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
19		2z 9215	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
20		fzpr 10008	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
22		2p1e3 8986	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
23	22	preq2i 3656	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
24	18, 21, 23	3eqtri 2190	. . 3 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = { 2 , 3 }
25	15, 24	uneq12i 3273	. 2 |- ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
26	7, 25	eqtri 2186	1 |- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3113   {cpr 3576   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   <_ cle 7930   2c2 8904   3c3 8905   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ...cfz 9940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941

This theorem is referenced by: (None)