Theorem fz0to3un2pr 10358

Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to3un2pr	|- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Proof of Theorem fz0to3un2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9418	. . . 4 |- 1 e. NN0
2		3nn0 9420	. . . 4 |- 3 e. NN0
3		1le3 9355	. . . 4 |- 1 <_ 3
4		elfz2nn0 10347	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1205	. . 3 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
6		fzsplit 10286	. . 3 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) -> ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... 3 ) = ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) )
8		1e0p1 9652	. . . . 5 |- 1 = ( 0 + 1 )
9	8	oveq2i 6029	. . . 4 |- ( 0 ... 1 ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
10		0z 9490	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
11		fzpr 10312	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
13		0p1e1 9257	. . . . 5 |- ( 0 + 1 ) = 1
14	13	preq2i 3752	. . . 4 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
15	9, 12, 14	3eqtri 2256	. . 3 |- ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
16		1p1e2 9260	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
17		df-3 9203	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	16, 17	oveq12i 6030	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
19		2z 9507	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
20		fzpr 10312	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
22		2p1e3 9277	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
23	22	preq2i 3752	. . . 4 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
24	18, 21, 23	3eqtri 2256	. . 3 |- ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) = { 2 , 3 }
25	15, 24	uneq12i 3359	. 2 |- ( ( 0 ... 1 ) u. ( ( 1 + 1 ) ... 3 ) ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )
26	7, 25	eqtri 2252	1 |- ( 0 ... 3 ) = ( { 0 , 1 } u. { 2 , 3 } )

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   {cpr 3670   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   <_ cle 8215   2c2 9194   3c3 9195   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by: (None)