Theorem fznn0 9676

Description: Characterization of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem fznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8859	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		nn0z 8868	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfz1 9578	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
4	1, 2, 3	sylancr 406	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5		df-3an 929	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
6		elnn0z 8861	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
7	6	anbi1i 447	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
8	5, 7	bitr4i 186	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
9	4, 8	syl6bb 195	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 927   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  0cc0 7447   ≤ cle 7620  ℕ₀cn0 8771  ℤcz 8848  ...cfz 9573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-fz 9574

This theorem is referenced by:  nn0fz0  9682