ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznn0 GIF version

Theorem fznn0 9527
Description: Characterization of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fznn0 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))

Proof of Theorem fznn0
StepHypRef Expression
1 0z 8761 . . 3 0 ∈ ℤ
2 nn0z 8770 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 elfz1 9429 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
41, 2, 3sylancr 405 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
5 df-3an 926 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾𝑁))
6 elnn0z 8763 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
76anbi1i 446 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾𝑁))
85, 7bitr4i 185 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
94, 8syl6bb 194 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  0cc0 7350  cle 7523  0cn0 8673  cz 8750  ...cfz 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-fz 9425
This theorem is referenced by:  nn0fz0  9533
  Copyright terms: Public domain W3C validator