Theorem elfznn0 10310

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	|- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10308	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
2	1	simp1bi 1036	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   0cc0 7999   <_ cle 8182   NN0cn0 9369   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10312  fz0fzdiffz0  10326  difelfzle  10330  fzo0ssnn0  10421  bcval  10971  bcrpcl  10975  bccmpl  10976  bcp1n  10983  bcp1nk  10984  permnn  10993  pfxmpt  11212  pfxfv  11216  pfxlen  11217  addlenpfx  11223  ccatpfx  11233  pfxswrd  11238  swrdpfx  11239  pfxpfx  11240  pfxpfxid  11241  lenrevpfxcctswrd  11244  swrdccatin1  11257  pfxccat3  11266  pfxccatpfx1  11268  pfxccat3a  11270  swrdccat3b  11272  binomlem  11994  binom1p  11996  binom1dif  11998  bcxmas  12000  arisum  12009  arisum2  12010  pwm1geoserap1  12019  geo2sum  12025  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  mertenslem2  12047  mertensabs  12048  efcvgfsum  12178  efaddlem  12185  eirraplem  12288  3dvds  12375  bitsfzolem  12465  prmdiveq  12758  hashgcdlem  12760  pcbc  12874  ennnfonelemim  12995  ctinfomlemom  12998  elply2  15409  plyf  15411  elplyd  15415  ply1termlem  15416  plyaddlem1  15421  plymullem1  15422  plyaddlem  15423  plymullem  15424  plycoeid3  15431  plycolemc  15432  plycjlemc  15434  plycj  15435  plycn  15436  plyrecj  15437  dvply1  15439  dvply2g  15440  dvdsppwf1o  15663  sgmppw  15666  1sgmprm  15668  mersenne  15671  lgseisenlem1  15749