ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Unicode version

Theorem elfznn0 10043
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10041 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 1001 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2135   class class class wbr 3979  (class class class)co 5839   0cc0 7747    <_ cle 7928   NN0cn0 9108   ...cfz 9938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-addcom 7847  ax-addass 7849  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-ltadd 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-inn 8852  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-fz 9939
This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10045  fz0fzdiffz0  10059  difelfzle  10063  fzo0ssnn0  10144  bcval  10656  bcrpcl  10660  bccmpl  10661  bcp1n  10668  bcp1nk  10669  permnn  10678  binomlem  11418  binom1p  11420  binom1dif  11422  bcxmas  11424  arisum  11433  arisum2  11434  pwm1geoserap1  11443  geo2sum  11449  mertenslemub  11469  mertenslemi1  11470  mertenslem2  11471  mertensabs  11472  efcvgfsum  11602  efaddlem  11609  eirraplem  11711  prmdiveq  12162  hashgcdlem  12164  pcbc  12275  ennnfonelemim  12351  ctinfomlemom  12354
  Copyright terms: Public domain W3C validator