Theorem elfznn0 10411

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	|- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10409	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
2	1	simp1bi 1039	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   0cc0 8092   <_ cle 8274   NN0cn0 9461   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10413  fz0fzdiffz0  10427  difelfzle  10431  fzo0ssnn0  10523  bcval  11074  bcrpcl  11078  bccmpl  11079  bcp1n  11086  bcp1nk  11087  permnn  11096  pfxmpt  11327  pfxfv  11331  pfxlen  11332  addlenpfx  11338  ccatpfx  11348  pfxswrd  11353  swrdpfx  11354  pfxpfx  11355  pfxpfxid  11356  lenrevpfxcctswrd  11359  swrdccatin1  11372  pfxccat3  11381  pfxccatpfx1  11383  pfxccat3a  11385  swrdccat3b  11387  binomlem  12124  binom1p  12126  binom1dif  12128  bcxmas  12130  arisum  12139  arisum2  12140  pwm1geoserap1  12149  geo2sum  12155  mertenslemub  12175  mertenslemi1  12176  mertenslem2  12177  mertensabs  12178  efcvgfsum  12308  efaddlem  12315  eirraplem  12418  3dvds  12505  bitsfzolem  12595  prmdiveq  12888  hashgcdlem  12890  pcbc  13004  ennnfonelemim  13125  ctinfomlemom  13128  elply2  15546  plyf  15548  elplyd  15552  ply1termlem  15553  plyaddlem1  15558  plymullem1  15559  plyaddlem  15560  plymullem  15561  plycoeid3  15568  plycolemc  15569  plycjlemc  15571  plycj  15572  plycn  15573  plyrecj  15574  dvply1  15576  dvply2g  15577  dvdsppwf1o  15803  sgmppw  15806  1sgmprm  15808  mersenne  15811  lgseisenlem1  15889