Theorem elfznn0 10531

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	|- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10529	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
2	1	simp1bi 1043	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   0cc0 8179   <_ cle 8361   NN0cn0 9567   ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  fz0ssnn0  10533  fz0fzdiffz0  10547  difelfzle  10551  fzo0ssnn0  10643  bcval  11201  bcrpcl  11205  bccmpl  11206  bcp1n  11213  bcp1nk  11214  bcm1n  11221  permnn  11224  pfxmpt  11466  pfxfv  11470  pfxlen  11471  addlenpfx  11477  ccatpfx  11487  pfxswrd  11492  swrdpfx  11493  pfxpfx  11494  pfxpfxid  11495  lenrevpfxcctswrd  11498  swrdccatin1  11511  pfxccat3  11520  pfxccatpfx1  11522  pfxccat3a  11524  swrdccat3b  11526  binomlem  12266  binom1p  12268  binom1dif  12270  bcxmas  12272  arisum  12281  arisum2  12282  pwm1geoserap1  12291  geo2sum  12297  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  mertenslem2  12319  mertensabs  12320  efcvgfsum  12450  efaddlem  12457  eirraplem  12560  3dvds  12647  bitsfzolem  12737  prmdiveq  13034  hashgcdlem  13036  pcbc  13150  ennnfonelemim  13364  ctinfomlemom  13367  elply2  15885  plyf  15887  elplyd  15891  ply1termlem  15892  plyaddlem1  15897  plymullem1  15898  plyaddlem  15899  plymullem  15900  plycoeid3  15907  plycolemc  15908  plycjlemc  15910  plycj  15911  plycn  15912  plyrecj  15913  dvply1  15915  dvply2g  15916  log2tlbndlog2  16139  log2ublem2  16141  log2ublog2  16143  birthdaylem2  16145  birthdaylem3  16146  dvdsppwf1o  16184  sgmppw  16187  1sgmprm  16189  mersenne  16195  lgseisenlem1  16287