ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0z Unicode version
Theorem elnn0z 9657
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 nn0re 9572 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2 elnn0 9565 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32biimpi 120 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
43orcomd 741 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN ) )
5 3mix1 1197 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
6 3mix2 1198 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
75, 6jaoi 728 . . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
84, 7syl 14 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
9 elz 9646 . . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
101, 8, 9sylanbrc 421 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
11 nn0ge0 9588 . . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1210, 11jca 306 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
139simprbi 275 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
1413adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
15 0nn0 9578 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
16 eleq1 2301 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
1715, 16mpbiri 168 . . . . 5 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
1817a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 -> N e. NN0 ) )
19 nnnn0 9570 . . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2019a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N e. NN -> N e. NN0 ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 <_ N )
22 0red 8327 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 e. RR )
23 zre 9648 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2423adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. RR )
2522, 24lenltd 8444 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
2621, 25mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. N < 0 )
27 nngt0 9329 . . . . . . 7 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
2824lt0neg1d 8843 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N < 0 <-> 0 < -u N ) )
2927, 28imbitrrid 156 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N < 0 ) )
3026, 29mtod 673 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. -u N e. NN )
3130pm2.21d 628 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N e. NN0 ) )
3218, 20, 313jaod 1345 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> N e. NN0 ) )
3314, 32mpd 13 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. NN0 )
3412, 33impbii 126 1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   <_ cle 8361   -ucneg 8498   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645
This theorem is used by:  nn0zrab  9669  znn0sub  9710  nn0ind  9760  fnn0ind  9762  fznn0  10520  elfz0ubfz0  10532  elfz0fzfz0  10533  fz0fzelfz0  10534  elfzmlbp  10539  difelfzle  10541  difelfznle  10542  elfzo0z  10596  fzofzim  10600  ubmelm1fzo  10644  flqge0nn0  10728  zmodcl  10781  modqmuladdnn0  10805  modsumfzodifsn  10833  uzennn  10873  zsqcl2  11054  iswrdiz  11311  swrdswrdlem  11476  swrdswrd  11477  swrdccatin2  11501  pfxccatin12lem2  11503  pfxccatin12lem3  11504  nn0abscl  11851  nn0maxcl  11991  geolim2  12279  cvgratnnlemabsle  12294  oexpneg  12644  oddnn02np1  12647  evennn02n  12649  nn0ehalf  12670  nn0oddm1d2  12676  divalgb  12692  bitsinv1lem  12728  dfgcd2  12791  uzwodc  12814  algcvga  12829  hashgcdlem  13016  pockthlem  13135  4sqlem14  13183  ennnfoneleminc  13302  gausslemma2dlem0h  16175
  Copyright terms: Public domain W3C validator