Theorem elnn0z 9668

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	|- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9583	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		elnn0 9576	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
3	2	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
4	3	orcomd 741	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN ) )
5		3mix1 1197	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
6		3mix2 1198	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
7	5, 6	jaoi 728	. . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
9		elz 9657	. . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
10	1, 8, 9	sylanbrc 421	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
11		nn0ge0 9599	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
12	10, 11	jca 306	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
13	9	simprbi 275	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
15		0nn0 9589	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
16		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
17	15, 16	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 -> N e. NN0 ) )
19		nnnn0 9581	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
20	19	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N e. NN -> N e. NN0 ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 <_ N )
22		0red 8333	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 e. RR )
23		zre 9659	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. RR )
25	22, 24	lenltd 8451	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
26	21, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. N < 0 )
27		nngt0 9338	. . . . . . 7 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
28	24	lt0neg1d 8850	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N < 0 <-> 0 < -u N ) )
29	27, 28	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N < 0 ) )
30	26, 29	mtod 673	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. -u N e. NN )
31	30	pm2.21d 628	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N e. NN0 ) )
32	18, 20, 31	3jaod 1345	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> N e. NN0 ) )
33	14, 32	mpd 13	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. NN0 )
34	12, 33	impbii 126	1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   <_ cle 8367   -ucneg 8505   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  nn0zrab  9680  znn0sub  9721  nn0ind  9771  fnn0ind  9773  fznn0  10537  elfz0ubfz0  10549  elfz0fzfz0  10550  fz0fzelfz0  10551  elfzmlbp  10556  difelfzle  10558  difelfznle  10559  elfzo0z  10613  fzofzim  10617  ubmelm1fzo  10661  flqge0nn0  10749  zmodcl  10802  modqmuladdnn0  10826  modsumfzodifsn  10854  uzennn  10894  zsqcl2  11075  iswrdiz  11333  swrdswrdlem  11498  swrdswrd  11499  swrdccatin2  11523  pfxccatin12lem2  11525  pfxccatin12lem3  11526  nn0abscl  11874  nn0maxcl  12014  geolim2  12304  cvgratnnlemabsle  12319  oexpneg  12669  oddnn02np1  12672  evennn02n  12674  nn0ehalf  12695  nn0oddm1d2  12701  divalgb  12717  bitsinv1lem  12753  dfgcd2  12816  uzwodc  12839  algcvga  12854  nn0sqdcq  13013  hashgcdlem  13045  pockthlem  13164  4sqlem14  13212  ennnfoneleminc  13360  bcmono  16304  bposlem1  16311  gausslemma2dlem0h  16380