ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0z Unicode version
Theorem elnn0z 9459
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 nn0re 9378 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2 elnn0 9371 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32biimpi 120 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
43orcomd 734 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN ) )
5 3mix1 1190 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
6 3mix2 1191 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
75, 6jaoi 721 . . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
84, 7syl 14 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
9 elz 9448 . . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
101, 8, 9sylanbrc 417 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
11 nn0ge0 9394 . . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1210, 11jca 306 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
139simprbi 275 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
1413adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
15 0nn0 9384 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
16 eleq1 2292 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
1715, 16mpbiri 168 . . . . 5 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
1817a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 -> N e. NN0 ) )
19 nnnn0 9376 . . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2019a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N e. NN -> N e. NN0 ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 <_ N )
22 0red 8147 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 e. RR )
23 zre 9450 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2423adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. RR )
2522, 24lenltd 8264 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
2621, 25mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. N < 0 )
27 nngt0 9135 . . . . . . 7 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
2824lt0neg1d 8662 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N < 0 <-> 0 < -u N ) )
2927, 28imbitrrid 156 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N < 0 ) )
3026, 29mtod 667 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. -u N e. NN )
3130pm2.21d 622 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N e. NN0 ) )
3218, 20, 313jaod 1338 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> N e. NN0 ) )
3314, 32mpd 13 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. NN0 )
3412, 33impbii 126 1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   0cc0 7999   < clt 8181   <_ cle 8182   -ucneg 8318   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447
This theorem is referenced by:  nn0zrab  9471  znn0sub  9512  nn0ind  9561  fnn0ind  9563  fznn0  10309  elfz0ubfz0  10321  elfz0fzfz0  10322  fz0fzelfz0  10323  elfzmlbp  10328  difelfzle  10330  difelfznle  10331  elfzo0z  10384  fzofzim  10388  ubmelm1fzo  10432  flqge0nn0  10513  zmodcl  10566  modqmuladdnn0  10590  modsumfzodifsn  10618  uzennn  10658  zsqcl2  10839  iswrdiz  11078  swrdswrdlem  11236  swrdswrd  11237  swrdccatin2  11261  pfxccatin12lem2  11263  pfxccatin12lem3  11264  nn0abscl  11596  nn0maxcl  11736  geolim2  12023  cvgratnnlemabsle  12038  oexpneg  12388  oddnn02np1  12391  evennn02n  12393  nn0ehalf  12414  nn0oddm1d2  12420  divalgb  12436  bitsinv1lem  12472  dfgcd2  12535  uzwodc  12558  algcvga  12573  hashgcdlem  12760  pockthlem  12879  4sqlem14  12927  ennnfoneleminc  12982  gausslemma2dlem0h  15735
  Copyright terms: Public domain W3C validator