ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0z Unicode version
Theorem elnn0z 9356
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 nn0re 9275 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2 elnn0 9268 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32biimpi 120 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
43orcomd 730 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN ) )
5 3mix1 1168 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
6 3mix2 1169 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
75, 6jaoi 717 . . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
84, 7syl 14 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
9 elz 9345 . . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
101, 8, 9sylanbrc 417 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
11 nn0ge0 9291 . . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1210, 11jca 306 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
139simprbi 275 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
1413adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
15 0nn0 9281 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
16 eleq1 2259 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
1715, 16mpbiri 168 . . . . 5 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
1817a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 -> N e. NN0 ) )
19 nnnn0 9273 . . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2019a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N e. NN -> N e. NN0 ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 <_ N )
22 0red 8044 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 e. RR )
23 zre 9347 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2423adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. RR )
2522, 24lenltd 8161 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
2621, 25mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. N < 0 )
27 nngt0 9032 . . . . . . 7 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
2824lt0neg1d 8559 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N < 0 <-> 0 < -u N ) )
2927, 28imbitrrid 156 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N < 0 ) )
3026, 29mtod 664 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. -u N e. NN )
3130pm2.21d 620 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N e. NN0 ) )
3218, 20, 313jaod 1315 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> N e. NN0 ) )
3314, 32mpd 13 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. NN0 )
3412, 33impbii 126 1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7895   0cc0 7896   < clt 8078   <_ cle 8079   -ucneg 8215   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344
This theorem is referenced by:  nn0zrab  9368  znn0sub  9408  nn0ind  9457  fnn0ind  9459  fznn0  10205  elfz0ubfz0  10217  elfz0fzfz0  10218  fz0fzelfz0  10219  elfzmlbp  10224  difelfzle  10226  difelfznle  10227  elfzo0z  10277  fzofzim  10281  ubmelm1fzo  10319  flqge0nn0  10400  zmodcl  10453  modqmuladdnn0  10477  modsumfzodifsn  10505  uzennn  10545  zsqcl2  10726  iswrdiz  10959  nn0abscl  11267  nn0maxcl  11407  geolim2  11694  cvgratnnlemabsle  11709  oexpneg  12059  oddnn02np1  12062  evennn02n  12064  nn0ehalf  12085  nn0oddm1d2  12091  divalgb  12107  bitsinv1lem  12143  dfgcd2  12206  uzwodc  12229  algcvga  12244  hashgcdlem  12431  pockthlem  12550  4sqlem14  12598  ennnfoneleminc  12653  gausslemma2dlem0h  15381
  Copyright terms: Public domain W3C validator