ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0z Unicode version
Theorem elnn0z 9387
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 nn0re 9306 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2 elnn0 9299 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32biimpi 120 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
43orcomd 731 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN ) )
5 3mix1 1169 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
6 3mix2 1170 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
75, 6jaoi 718 . . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
84, 7syl 14 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
9 elz 9376 . . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
101, 8, 9sylanbrc 417 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
11 nn0ge0 9322 . . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1210, 11jca 306 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
139simprbi 275 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
1413adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
15 0nn0 9312 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
16 eleq1 2268 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
1715, 16mpbiri 168 . . . . 5 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
1817a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 -> N e. NN0 ) )
19 nnnn0 9304 . . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2019a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N e. NN -> N e. NN0 ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 <_ N )
22 0red 8075 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 e. RR )
23 zre 9378 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2423adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. RR )
2522, 24lenltd 8192 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
2621, 25mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. N < 0 )
27 nngt0 9063 . . . . . . 7 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
2824lt0neg1d 8590 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N < 0 <-> 0 < -u N ) )
2927, 28imbitrrid 156 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N < 0 ) )
3026, 29mtod 665 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. -u N e. NN )
3130pm2.21d 620 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N e. NN0 ) )
3218, 20, 313jaod 1317 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> N e. NN0 ) )
3314, 32mpd 13 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. NN0 )
3412, 33impbii 126 1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   0cc0 7927   < clt 8109   <_ cle 8110   -ucneg 8246   NNcn 9038   NN0cn0 9297   ZZcz 9374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375
This theorem is referenced by:  nn0zrab  9399  znn0sub  9440  nn0ind  9489  fnn0ind  9491  fznn0  10237  elfz0ubfz0  10249  elfz0fzfz0  10250  fz0fzelfz0  10251  elfzmlbp  10256  difelfzle  10258  difelfznle  10259  elfzo0z  10310  fzofzim  10314  ubmelm1fzo  10357  flqge0nn0  10438  zmodcl  10491  modqmuladdnn0  10515  modsumfzodifsn  10543  uzennn  10583  zsqcl2  10764  iswrdiz  11003  nn0abscl  11429  nn0maxcl  11569  geolim2  11856  cvgratnnlemabsle  11871  oexpneg  12221  oddnn02np1  12224  evennn02n  12226  nn0ehalf  12247  nn0oddm1d2  12253  divalgb  12269  bitsinv1lem  12305  dfgcd2  12368  uzwodc  12391  algcvga  12406  hashgcdlem  12593  pockthlem  12712  4sqlem14  12760  ennnfoneleminc  12815  gausslemma2dlem0h  15566
  Copyright terms: Public domain W3C validator