ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0z Unicode version

Theorem elnn0z 8761
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 nn0re 8680 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 elnn0 8673 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
43orcomd 683 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  \/  N  e.  NN ) )
5 3mix1 1112 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )
6 3mix2 1113 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )
75, 6jaoi 671 . . . . 5  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN )  ->  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )
84, 7syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )
9 elz 8750 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
101, 8, 9sylanbrc 408 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
11 nn0ge0 8696 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
1210, 11jca 300 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
139simprbi 269 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )
1413adantr 270 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )
15 0nn0 8686 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
16 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
1715, 16mpbiri 166 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  e.  NN0 )
1817a1i 9 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( N  =  0  ->  N  e.  NN0 ) )
19 nnnn0 8678 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2019a1i 9 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
)
21 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
0  <_  N )
22 0red 7487 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
23 zre 8752 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
2423adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  N  e.  RR )
2522, 24lenltd 7599 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( 0  <_  N  <->  -.  N  <  0 ) )
2621, 25mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  -.  N  <  0
)
27 nngt0 8445 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  0  <  -u N )
2824lt0neg1d 7991 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( N  <  0  <->  0  <  -u N ) )
2927, 28syl5ibr 154 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( -u N  e.  NN  ->  N  <  0 ) )
3026, 29mtod 624 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  -.  -u N  e.  NN )
3130pm2.21d 584 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( -u N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
)
3218, 20, 313jaod 1240 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 ) )
3314, 32mpd 13 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
3412, 33impbii 124 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   RRcr 7347   0cc0 7348    < clt 7520    <_ cle 7521   -ucneg 7652   NNcn 8420   NN0cn0 8671   ZZcz 8748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749
This theorem is referenced by:  nn0zrab  8773  znn0sub  8813  nn0ind  8858  fnn0ind  8860  fznn0  9523  elfz0ubfz0  9532  elfz0fzfz0  9533  fz0fzelfz0  9534  elfzmlbp  9539  difelfzle  9541  difelfznle  9542  elfzo0z  9591  fzofzim  9595  ubmelm1fzo  9633  flqge0nn0  9696  zmodcl  9747  modqmuladdnn0  9771  modsumfzodifsn  9799  zsqcl2  10028  nn0abscl  10514  geolim2  10902  cvgratnnlemabsle  10917  oexpneg  11151  oddnn02np1  11154  evennn02n  11156  nn0ehalf  11177  nn0oddm1d2  11183  divalgb  11199  dfgcd2  11277  ialgcvga  11307  hashgcdlem  11477
  Copyright terms: Public domain W3C validator