ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznuz Unicode version

Theorem fznuz 9516
Description: Disjointness of the upper integers and a finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
fznuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  -.  K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )

Proof of Theorem fznuz
StepHypRef Expression
1 elfzle2 9442 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
2 elfzel2 9438 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzp1l 9043 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  N  <  K )
43ex 113 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  N  <  K ) )
52, 4syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  N  <  K ) )
6 elfzelz 9440 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
7 zltnle 8796 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  <  K  <->  -.  K  <_  N )
)
82, 6, 7syl2anc 403 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  <  K  <->  -.  K  <_  N ) )
95, 8sylibd 147 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  -.  K  <_  N ) )
101, 9mt2d 590 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  -.  K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1c1 7351    + caddc 7353    < clt 7522    <_ cle 7523   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425
This theorem is referenced by:  fisumcvg  10766  fsum3cvg  10767
  Copyright terms: Public domain W3C validator