Theorem uznfz 10038

Description: Disjointness of the upper integers and a finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uznfz	|- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> -. K e. ( M ... ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem uznfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9478	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
2		eluzel2 9471	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
3		elfzel1 9959	. . . . 5 |- ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> M e. ZZ )
4		elfzm11 10026	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K < N ) ) )
5		simp3 989	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K < N ) -> K < N )
6	4, 5	syl6bi 162	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> K < N ) )
7	6	impancom 258	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N e. ZZ -> K < N ) )
8	3, 7	mpancom 419	. . . 4 |- ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( N e. ZZ -> K < N ) )
9	2, 8	syl5com 29	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> K < N ) )
10		eluzelz 9475	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> K e. ZZ )
11		zltnle 9237	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> -. N <_ K ) )
12	10, 2, 11	syl2anc 409	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( K < N <-> -. N <_ K ) )
13	9, 12	sylibd 148	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. N <_ K ) )
14	1, 13	mt2d 615	1 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> -. K e. ( M ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1c1 7754   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945

This theorem is referenced by:  sumrbdclem  11318  prodrbdclem  11512