Theorem uznfz 10527

Description: Disjointness of the upper integers and a finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uznfz	|- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> -. K e. ( M ... ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem uznfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9950	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
2		eluzel2 9942	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
3		elfzel1 10444	. . . . 5 |- ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> M e. ZZ )
4		elfzm11 10515	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K < N ) ) )
5		simp3 1030	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K < N ) -> K < N )
6	4, 5	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> K < N ) )
7	6	impancom 260	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N e. ZZ -> K < N ) )
8	3, 7	mpancom 426	. . . 4 |- ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( N e. ZZ -> K < N ) )
9	2, 8	syl5com 29	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> K < N ) )
10		eluzelz 9947	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> K e. ZZ )
11		zltnle 9701	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> -. N <_ K ) )
12	10, 2, 11	syl2anc 415	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( K < N <-> -. N <_ K ) )
13	9, 12	sylibd 149	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> -. N <_ K ) )
14	1, 13	mt2d 634	1 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> -. K e. ( M ... ( N - 1 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8186   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  sumrbdclem  12169  prodrbdclem  12363  ballotfilemfp1  13289