ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uznfz Unicode version

Theorem uznfz 10011
Description: Disjointness of the upper integers and a finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
uznfz  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  -.  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )

Proof of Theorem uznfz
StepHypRef Expression
1 eluzle 9456 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
2 eluzel2 9449 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
3 elfzel1 9933 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  M  e.  ZZ )
4 elfzm11 9999 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
5 simp3 984 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <  N )  ->  K  <  N )
64, 5syl6bi 162 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <  N
) )
76impancom 258 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  K  <  N ) )
83, 7mpancom 419 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  K  <  N ) )
92, 8syl5com 29 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <  N ) )
10 eluzelz 9453 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  K  e.  ZZ )
11 zltnle 9218 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  -.  N  <_  K )
)
1210, 2, 11syl2anc 409 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( K  <  N  <->  -.  N  <_  K ) )
139, 12sylibd 148 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  -.  N  <_  K ) )
141, 13mt2d 615 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  -.  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   1c1 7735    < clt 7914    <_ cle 7915    - cmin 8050   ZZcz 9172   ZZ>=cuz 9444   ...cfz 9918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919
This theorem is referenced by:  sumrbdclem  11285  prodrbdclem  11479
  Copyright terms: Public domain W3C validator