ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzneuz Unicode version
Theorem fzneuz 9881
Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzneuz |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
Proof of Theorem fzneuz
StepHypRef Expression
1 peano2uz 9378 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
21adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
3 eluzelz 9335 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4 zre 9058 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
54ltp1d 8688 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N < ( N + 1 ) )
6 peano2z 9090 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
7 zltnle 9100 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
86, 7mpdan 417 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
95, 8mpbid 146 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> -. ( N + 1 ) <_ N )
103, 9syl 14 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( N + 1 ) <_ N )
11 elfzle2 9808 . . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( N + 1 ) <_ N )
1210, 11nsyl 617 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) )
1312ad2antrr 479 . . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) )
14 nelneq2 2241 . . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) /\ -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> -. ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) )
152, 13, 14syl2anc 408 . . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) )
16 eqcom 2141 . . 3 |- ( ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) <-> ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
1715, 16sylnib 665 . 2 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
18 eluzfz2 9812 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
1918ad2antrr 479 . . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( M ... N ) )
20 nelneq2 2241 . . 3 |- ( ( N e. ( M ... N ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
2119, 20sylancom 416 . 2 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
22 simpr 109 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
233adantr 274 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
24 eluzdc 9404 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` K ) )
2522, 23, 24syl2anc 408 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` K ) )
26 df-dc 820 . . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2725, 26sylib 121 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2817, 21, 27mpjaodan 787 1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator