ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzneuz Unicode version

Theorem fzneuz 9511
Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzneuz  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  -.  ( M ... N )  =  ( ZZ>= `  K
) )

Proof of Theorem fzneuz
StepHypRef Expression
1 peano2uz 9069 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
21adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  K ) )
3 eluzelz 9026 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
4 zre 8752 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
54ltp1d 8389 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
6 peano2z 8784 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
7 zltnle 8794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
86, 7mpdan 412 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( N  + 
1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
95, 8mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
103, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  N )
11 elfzle2 9440 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( N  +  1 )  <_  N )
1210, 11nsyl 593 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
1312ad2antrr 472 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
14 nelneq2 2189 . . . 4  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  -.  ( N  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  -.  ( ZZ>= `  K )  =  ( M ... N ) )
152, 13, 14syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( ZZ>= `  K )  =  ( M ... N ) )
16 eqcom 2090 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  K )  =  ( M ... N
)  <->  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
1715, 16sylnib 636 . 2  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
18 eluzfz2 9444 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
1918ad2antrr 472 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  ( M ... N ) )
20 nelneq2 2189 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( M ... N )  /\  -.  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
2119, 20sylancom 411 . 2  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  -.  ( M ... N )  =  (
ZZ>= `  K ) )
22 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
233adantr 270 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
24 eluzdc 9095 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  K
) )
2522, 23, 24syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) )
26 df-dc 781 . . 3  |-  (DECID  N  e.  ( ZZ>= `  K )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  \/  -.  N  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
2725, 26sylib 120 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  \/  -.  N  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
2817, 21, 27mpjaodan 747 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  -.  ( M ... N )  =  ( ZZ>= `  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1c1 7349    + caddc 7351    < clt 7520    <_ cle 7521   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator