ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzneuz Unicode version
Theorem fzneuz 10057
Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzneuz |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
Proof of Theorem fzneuz
StepHypRef Expression
1 peano2uz 9542 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
21adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
3 eluzelz 9496 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4 zre 9216 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
54ltp1d 8846 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N < ( N + 1 ) )
6 peano2z 9248 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
7 zltnle 9258 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
86, 7mpdan 419 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
95, 8mpbid 146 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> -. ( N + 1 ) <_ N )
103, 9syl 14 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( N + 1 ) <_ N )
11 elfzle2 9984 . . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( N + 1 ) <_ N )
1210, 11nsyl 623 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) )
1312ad2antrr 485 . . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) )
14 nelneq2 2272 . . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) /\ -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> -. ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) )
152, 13, 14syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) )
16 eqcom 2172 . . 3 |- ( ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) <-> ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
1715, 16sylnib 671 . 2 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
18 eluzfz2 9988 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
1918ad2antrr 485 . . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( M ... N ) )
20 nelneq2 2272 . . 3 |- ( ( N e. ( M ... N ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
2119, 20sylancom 418 . 2 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
22 simpr 109 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
233adantr 274 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
24 eluzdc 9569 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` K ) )
2522, 23, 24syl2anc 409 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` K ) )
26 df-dc 830 . . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2725, 26sylib 121 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2817, 21, 27mpjaodan 793 1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator