ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzneuz Unicode version
Theorem fzneuz 10457
Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzneuz |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
Proof of Theorem fzneuz
StepHypRef Expression
1 peano2uz 9933 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
21adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
3 eluzelz 9881 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4 zre 9598 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
54ltp1d 9221 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N < ( N + 1 ) )
6 peano2z 9630 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
7 zltnle 9640 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
86, 7mpdan 421 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
95, 8mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> -. ( N + 1 ) <_ N )
103, 9syl 14 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( N + 1 ) <_ N )
11 elfzle2 10382 . . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( N + 1 ) <_ N )
1210, 11nsyl 633 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) )
1312ad2antrr 488 . . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) )
14 nelneq2 2336 . . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) /\ -. ( N + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> -. ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) )
152, 13, 14syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) )
16 eqcom 2236 . . 3 |- ( ( ZZ>= ` K ) = ( M ... N ) <-> ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
1715, 16sylnib 683 . 2 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
18 eluzfz2 10386 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
1918ad2antrr 488 . . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( M ... N ) )
20 nelneq2 2336 . . 3 |- ( ( N e. ( M ... N ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
2119, 20sylancom 420 . 2 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) /\ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
22 simpr 110 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
233adantr 276 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
24 eluzdc 9960 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` K ) )
2522, 23, 24syl2anc 411 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` K ) )
26 df-dc 843 . . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2725, 26sylib 122 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2817, 21, 27mpjaodan 806 1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> -. ( M ... N ) = ( ZZ>= ` K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator