Theorem elfzel2 10100

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10099	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzelz 9612	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   ...cfz 10085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-neg 8202  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10112  fzdisj  10129  fzssp1  10144  fzp1disj  10157  fzrev2i  10163  fzrev3  10164  fznuz  10179  fznn0sub2  10205  elfzmlbm  10208  difelfznle  10212  nn0disj  10215  fzofzp1b  10306  iseqf1olemqcl  10593  iseqf1olemab  10596  iseqf1olemqf1o  10600  iseqf1olemqk  10601  iseqf1olemjpcl  10602  iseqf1olemqpcl  10603  iseqf1olemfvp  10604  seq3f1olemqsumkj  10605  seq3f1olemqsumk  10606  seq3f1olemqsum  10607  seq3f1olemstep  10608  bcm1k  10854  bcp1nk  10856