Theorem elfzel2 9972

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9971	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzelz 9489	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480   ...cfz 9958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-neg 8086  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9984  fzdisj  10001  fzssp1  10016  fzp1disj  10029  fzrev2i  10035  fzrev3  10036  fznuz  10051  fznn0sub2  10077  elfzmlbm  10080  difelfznle  10084  nn0disj  10087  fzofzp1b  10177  iseqf1olemqcl  10435  iseqf1olemab  10438  iseqf1olemqf1o  10442  iseqf1olemqk  10443  iseqf1olemjpcl  10444  iseqf1olemqpcl  10445  iseqf1olemfvp  10446  seq3f1olemqsumkj  10447  seq3f1olemqsumk  10448  seq3f1olemqsum  10449  seq3f1olemstep  10450  bcm1k  10687  bcp1nk  10689