Theorem elfzel2 9501

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9500	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzelz 9091	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1439   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   ...cfz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-neg 7719  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9512  fzdisj  9529  fzssp1  9544  fzp1disj  9557  fzrev2i  9563  fzrev3  9564  fznuz  9579  fznn0sub2  9602  elfzmlbm  9605  difelfznle  9609  nn0disj  9612  fzofzp1b  9702  iseqf1olemqcl  9978  iseqf1olemab  9981  iseqf1olemqf1o  9985  iseqf1olemqk  9986  iseqf1olemjpcl  9987  iseqf1olemqpcl  9988  iseqf1olemfvp  9989  seq3f1olemqsumkj  9990  seq3f1olemqsumk  9991  seq3f1olemqsum  9992  seq3f1olemstep  9993  bcm1k  10231  bcp1nk  10233