Theorem elfzel2 10052

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10051	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzelz 9566	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557   ...cfz 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-neg 8160  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10064  fzdisj  10081  fzssp1  10096  fzp1disj  10109  fzrev2i  10115  fzrev3  10116  fznuz  10131  fznn0sub2  10157  elfzmlbm  10160  difelfznle  10164  nn0disj  10167  fzofzp1b  10257  iseqf1olemqcl  10516  iseqf1olemab  10519  iseqf1olemqf1o  10523  iseqf1olemqk  10524  iseqf1olemjpcl  10525  iseqf1olemqpcl  10526  iseqf1olemfvp  10527  seq3f1olemqsumkj  10528  seq3f1olemqsumk  10529  seq3f1olemqsum  10530  seq3f1olemstep  10531  bcm1k  10771  bcp1nk  10773