Theorem elfzel2 10426

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10425	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzelz 9931	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  elfz1eq  10439  fzdisj  10457  fzssp1  10473  fzp1disj  10487  fzrev2i  10493  fzrev3  10494  fznuz  10509  fznn0sub2  10535  elfzmlbm  10538  difelfznle  10542  nn0disj  10545  fz1fzo0m1  10601  fzofzp1b  10646  infssfzcldc  10669  infssfzledc  10670  iseqf1olemqcl  10936  iseqf1olemab  10939  iseqf1olemqf1o  10943  iseqf1olemqk  10944  iseqf1olemjpcl  10945  iseqf1olemqpcl  10946  iseqf1olemfvp  10947  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1olemstep  10951  bcm1k  11198  bcp1nk  11200  swrdwrdsymbg  11436  ccatswrd  11442  swrdswrd  11477  pfxswrd  11478  pfxccatin12lem2  11503  ballotfilemgun  13268