Theorem fzosplitpr 10630

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitpr	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )

Proof of Theorem fzosplitpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9342	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 2 = ( 1 + 1 ) )
3	2	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 2 ) = ( B + ( 1 + 1 ) ) )
4		eluzelcn 9912	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. CC )
5		1cnd 8332	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 1 e. CC )
6		add32r 8476	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( B + ( 1 + 1 ) ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + ( 1 + 1 ) ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
8	3, 7	eqtrd 2271	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 2 ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
9	8	oveq2d 6091	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) )
10		peano2uz 9962	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
11		fzosplitsn 10629	. . 3 |- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) )
13		fzosplitsn 10629	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
14	13	uneq1d 3382	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) )
15		unass 3386	. . . 4 |- ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) ) )
17		df-pr 3712	. . . . . 6 |- { B , ( B + 1 ) } = ( { B } u. { ( B + 1 ) } )
18	17	eqcomi 2242	. . . . 5 |- ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) = { B , ( B + 1 ) }
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) = { B , ( B + 1 ) } )
20	19	uneq2d 3383	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
21	14, 16, 20	3eqtrd 2275	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
22	9, 12, 21	3eqtrd 2275	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {csn 3705   {cpr 3706   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   1c1 8170   + caddc 8172   2c2 9334   ZZ>=cuz 9900  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2lem1  16592