ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitpr Unicode version
Theorem fzosplitpr 10467
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitpr |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzosplitpr
StepHypRef Expression
1 df-2 9190 . . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
21a1i 9 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 2 = ( 1 + 1 ) )
32oveq2d 6027 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 2 ) = ( B + ( 1 + 1 ) ) )
4 eluzelcn 9755 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. CC )
5 1cnd 8183 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 1 e. CC )
6 add32r 8327 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( B + ( 1 + 1 ) ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
74, 5, 5, 6syl3anc 1271 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + ( 1 + 1 ) ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
83, 7eqtrd 2262 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 2 ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
98oveq2d 6027 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) )
10 peano2uz 9805 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
11 fzosplitsn 10466 . . 3 |- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) )
1210, 11syl 14 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) )
13 fzosplitsn 10466 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
1413uneq1d 3358 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) )
15 unass 3362 . . . 4 |- ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) )
1615a1i 9 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) ) )
17 df-pr 3674 . . . . . 6 |- { B , ( B + 1 ) } = ( { B } u. { ( B + 1 ) } )
1817eqcomi 2233 . . . . 5 |- ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) = { B , ( B + 1 ) }
1918a1i 9 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) = { B , ( B + 1 ) } )
2019uneq2d 3359 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
2114, 16, 203eqtrd 2266 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
229, 12, 213eqtrd 2266 1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3196   {csn 3667   {cpr 3668   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   CCcc 8018   1c1 8021   + caddc 8023   2c2 9182   ZZ>=cuz 9743  ..^cfzo 10365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-2 9190  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2lem1  16222
  Copyright terms: Public domain W3C validator