ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitpr Unicode version
Theorem fzosplitpr 10652
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitpr |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzosplitpr
StepHypRef Expression
1 df-2 9363 . . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
21a1i 9 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 2 = ( 1 + 1 ) )
32oveq2d 6101 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 2 ) = ( B + ( 1 + 1 ) ) )
4 eluzelcn 9933 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. CC )
5 1cnd 8342 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 1 e. CC )
6 add32r 8486 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( B + ( 1 + 1 ) ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
74, 5, 5, 6syl3anc 1278 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + ( 1 + 1 ) ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
83, 7eqtrd 2271 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 2 ) = ( ( B + 1 ) + 1 ) )
98oveq2d 6101 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) )
10 peano2uz 9983 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
11 fzosplitsn 10651 . . 3 |- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) )
1210, 11syl 14 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B + 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) )
13 fzosplitsn 10651 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
1413uneq1d 3382 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) )
15 unass 3386 . . . 4 |- ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) )
1615a1i 9 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( A..^ B ) u. { B } ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) ) )
17 df-pr 3716 . . . . . 6 |- { B , ( B + 1 ) } = ( { B } u. { ( B + 1 ) } )
1817eqcomi 2242 . . . . 5 |- ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) = { B , ( B + 1 ) }
1918a1i 9 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) = { B , ( B + 1 ) } )
2019uneq2d 3383 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( { B } u. { ( B + 1 ) } ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
2114, 16, 203eqtrd 2275 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ ( B + 1 ) ) u. { ( B + 1 ) } ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
229, 12, 213eqtrd 2275 1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 2 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B , ( B + 1 ) } ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {csn 3709   {cpr 3710   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   + caddc 8182   2c2 9355   ZZ>=cuz 9921  ..^cfzo 10549
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550
This theorem is used by:  clwwlknonex2lem1  16678
  Copyright terms: Public domain W3C validator