ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitsn Unicode version

Theorem fzosplitsn 9644
Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsn  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )

Proof of Theorem fzosplitsn
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
2 eluzelz 9028 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
3 uzid 9033 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  ( ZZ>= `  B )
)
4 peano2uz 9071 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B )
)
52, 3, 43syl 17 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B )
)
6 elfzuzb 9434 . . . 4  |-  ( B  e.  ( A ... ( B  +  1
) )  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
71, 5, 6sylanbrc 408 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( A ... ( B  +  1 ) ) )
8 fzosplit 9588 . . 3  |-  ( B  e.  ( A ... ( B  +  1
) )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( B..^ ( B  +  1 ) ) ) )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( B..^ ( B  +  1 ) ) ) )
10 fzosn 9616 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B..^ ( B  +  1 ) )  =  { B } )
112, 10syl 14 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B..^ ( B  +  1
) )  =  { B } )
1211uneq2d 3154 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A..^ B )  u.  ( B..^ ( B  +  1 ) ) )  =  ( ( A..^ B
)  u.  { B } ) )
139, 12eqtrd 2120 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438    u. cun 2997   {csn 3446   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1c1 7351    + caddc 7353   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424  ..^cfzo 9553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554
This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  9645  fzosplitsni  9646  fzisfzounsn  9647
  Copyright terms: Public domain W3C validator