ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitsn Unicode version

Theorem fzosplitsn 10265
Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsn  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )

Proof of Theorem fzosplitsn
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
2 eluzelz 9568 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
3 uzid 9573 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  ( ZZ>= `  B )
)
4 peano2uz 9615 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B )
)
52, 3, 43syl 17 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B )
)
6 elfzuzb 10051 . . . 4  |-  ( B  e.  ( A ... ( B  +  1
) )  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
71, 5, 6sylanbrc 417 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( A ... ( B  +  1 ) ) )
8 fzosplit 10209 . . 3  |-  ( B  e.  ( A ... ( B  +  1
) )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( B..^ ( B  +  1 ) ) ) )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( B..^ ( B  +  1 ) ) ) )
10 fzosn 10237 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B..^ ( B  +  1 ) )  =  { B } )
112, 10syl 14 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B..^ ( B  +  1
) )  =  { B } )
1211uneq2d 3304 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A..^ B )  u.  ( B..^ ( B  +  1 ) ) )  =  ( ( A..^ B
)  u.  { B } ) )
139, 12eqtrd 2222 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160    u. cun 3142   {csn 3607   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   1c1 7843    + caddc 7845   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   ...cfz 10040  ..^cfzo 10174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175
This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  10266  fzosplitsni  10267  fzisfzounsn  10268
  Copyright terms: Public domain W3C validator