Theorem fzosplitsn 10003

Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsn	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Proof of Theorem fzosplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
2		eluzelz 9328	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
3		uzid 9333	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
4		peano2uz 9371	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
6		elfzuzb 9793	. . . 4 |- ( B e. ( A ... ( B + 1 ) ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) ) )
7	1, 5, 6	sylanbrc 413	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ( A ... ( B + 1 ) ) )
8		fzosplit 9947	. . 3 |- ( B e. ( A ... ( B + 1 ) ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) )
10		fzosn 9975	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B..^ ( B + 1 ) ) = { B } )
11	2, 10	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B..^ ( B + 1 ) ) = { B } )
12	11	uneq2d 3225	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
13	9, 12	eqtrd 2170	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3064   {csn 3522   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   1c1 7614   + caddc 7616   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783  ..^cfzo 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913

This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  10004  fzosplitsni  10005  fzisfzounsn  10006