Theorem fzosplitsn 10265

Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsn	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Proof of Theorem fzosplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
2		eluzelz 9568	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
3		uzid 9573	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
4		peano2uz 9615	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
6		elfzuzb 10051	. . . 4 |- ( B e. ( A ... ( B + 1 ) ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) ) )
7	1, 5, 6	sylanbrc 417	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ( A ... ( B + 1 ) ) )
8		fzosplit 10209	. . 3 |- ( B e. ( A ... ( B + 1 ) ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) )
10		fzosn 10237	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B..^ ( B + 1 ) ) = { B } )
11	2, 10	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B..^ ( B + 1 ) ) = { B } )
12	11	uneq2d 3304	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
13	9, 12	eqtrd 2222	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3142   {csn 3607   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   1c1 7843   + caddc 7845   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   ...cfz 10040  ..^cfzo 10174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175

This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  10266  fzosplitsni  10267  fzisfzounsn  10268