Theorem fzosplitsn 9531

Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsn	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Proof of Theorem fzosplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
2		eluzelz 8921	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
3		uzid 8926	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
4		peano2uz 8964	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
6		elfzuzb 9327	. . . 4 |- ( B e. ( A ... ( B + 1 ) ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) ) )
7	1, 5, 6	sylanbrc 408	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ( A ... ( B + 1 ) ) )
8		fzosplit 9475	. . 3 |- ( B e. ( A ... ( B + 1 ) ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) )
10		fzosn 9503	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B..^ ( B + 1 ) ) = { B } )
11	2, 10	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B..^ ( B + 1 ) ) = { B } )
12	11	uneq2d 3138	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
13	9, 12	eqtrd 2115	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1285   e. wcel 1434   u. cun 2982   {csn 3422   ` cfv 4967  (class class class)co 5589   1c1 7252   + caddc 7254   ZZcz 8644   ZZ>=cuz 8912   ...cfz 9317  ..^cfzo 9441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-fz 9318  df-fzo 9442

This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  9532  fzosplitsni  9533  fzisfzounsn  9534