Theorem fzosplitsn 9644

Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsn	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Proof of Theorem fzosplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
2		eluzelz 9028	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
3		uzid 9033	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
4		peano2uz 9071	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
6		elfzuzb 9434	. . . 4 |- ( B e. ( A ... ( B + 1 ) ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) ) )
7	1, 5, 6	sylanbrc 408	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ( A ... ( B + 1 ) ) )
8		fzosplit 9588	. . 3 |- ( B e. ( A ... ( B + 1 ) ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) )
10		fzosn 9616	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B..^ ( B + 1 ) ) = { B } )
11	2, 10	syl 14	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B..^ ( B + 1 ) ) = { B } )
12	11	uneq2d 3154	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + 1 ) ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
13	9, 12	eqtrd 2120	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438   u. cun 2997   {csn 3446   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1c1 7351   + caddc 7353   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424  ..^cfzo 9553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554

This theorem is referenced by:  fzosplitprm1  9645  fzosplitsni  9646  fzisfzounsn  9647