ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Unicode version
Theorem fzosplitprm1 10310
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 999 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. ZZ )
2 simp2 1000 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ZZ )
3 zre 9330 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4 zre 9330 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5 ltle 8114 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
63, 4, 5syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
763impia 1202 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ B )
8 eluz2 9607 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A <_ B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1183 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
10 fzosplitsn 10309 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
119, 10syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
12 zcn 9331 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
13 ax-1cn 7972 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
14 npcan 8235 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
1514eqcomd 2202 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1612, 13, 15sylancl 413 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
17163ad2ant2 1021 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1817oveq2d 5938 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
19 peano2zm 9364 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
20193ad2ant2 1021 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 zltlem1 9383 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> A <_ ( B - 1 ) ) )
2221biimp3a 1356 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ ( B - 1 ) )
23 eluz2 9607 . . . . . 6 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B - 1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1183 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
25 fzosplitsn 10309 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2229 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2827uneq1d 3316 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ B ) u. { B } ) = ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) )
29 unass 3320 . . 3 |- ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) )
30 df-pr 3629 . . . . . 6 |- { ( B - 1 ) , B } = ( { ( B - 1 ) } u. { B } )
3130eqcomi 2200 . . . . 5 |- ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B }
3231a1i 9 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B } )
3332uneq2d 3317 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3429, 33eqtrid 2241 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2233 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   {csn 3622   {cpr 3623   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601  ..^cfzo 10217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator