ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Unicode version

Theorem fzosplitprm1 10254
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )

Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 999 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  ZZ )
2 simp2 1000 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ZZ )
3 zre 9277 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4 zre 9277 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
5 ltle 8065 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
63, 4, 5syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
763impia 1202 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <_  B )
8 eluz2 9554 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1183 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
10 fzosplitsn 10253 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
119, 10syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
12 zcn 9278 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
13 ax-1cn 7924 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
14 npcan 8186 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
1514eqcomd 2195 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
1612, 13, 15sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
17163ad2ant2 1021 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
1817oveq2d 5908 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ B )  =  ( A..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) )
19 peano2zm 9311 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
20193ad2ant2 1021 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
21 zltlem1 9330 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  A  <_  ( B  - 
1 ) ) )
2221biimp3a 1356 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <_  ( B  -  1 ) )
23 eluz2 9554 . . . . . 6  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  -  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_ 
( B  -  1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )
25 fzosplitsn 10253 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2222 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2827uneq1d 3303 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ B )  u.  { B }
)  =  ( ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } ) )
29 unass 3307 . . 3  |-  ( ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } ) )
30 df-pr 3614 . . . . . 6  |-  { ( B  -  1 ) ,  B }  =  ( { ( B  - 
1 ) }  u.  { B } )
3130eqcomi 2193 . . . . 5  |-  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } )  =  {
( B  -  1 ) ,  B }
3231a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( { ( B  - 
1 ) }  u.  { B } )  =  { ( B  - 
1 ) ,  B } )
3332uneq2d 3304 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
3429, 33eqtrid 2234 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2226 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    u. cun 3142   {csn 3607   {cpr 3608   class class class wbr 4018   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   CCcc 7829   RRcr 7830   1c1 7832    + caddc 7834    < clt 8012    <_ cle 8013    - cmin 8148   ZZcz 9273   ZZ>=cuz 9548  ..^cfzo 10162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-fz 10029  df-fzo 10163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator