ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Unicode version
Theorem fzosplitprm1 10115
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. ZZ )
2 simp2 983 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ZZ )
3 zre 9154 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4 zre 9154 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5 ltle 7947 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
63, 4, 5syl2an 287 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
763impia 1182 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ B )
8 eluz2 9428 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A <_ B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1166 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
10 fzosplitsn 10114 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
119, 10syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
12 zcn 9155 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
13 ax-1cn 7808 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
14 npcan 8067 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
1514eqcomd 2163 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1612, 13, 15sylancl 410 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
17163ad2ant2 1004 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1817oveq2d 5834 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
19 peano2zm 9188 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
20193ad2ant2 1004 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 zltlem1 9207 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> A <_ ( B - 1 ) ) )
2221biimp3a 1327 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ ( B - 1 ) )
23 eluz2 9428 . . . . . 6 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B - 1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1166 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
25 fzosplitsn 10114 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2190 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2827uneq1d 3260 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ B ) u. { B } ) = ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) )
29 unass 3264 . . 3 |- ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) )
30 df-pr 3567 . . . . . 6 |- { ( B - 1 ) , B } = ( { ( B - 1 ) } u. { B } )
3130eqcomi 2161 . . . . 5 |- ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B }
3231a1i 9 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B } )
3332uneq2d 3261 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3429, 33syl5eq 2202 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2194 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   {csn 3560   {cpr 3561   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   CCcc 7713   RRcr 7714   1c1 7716   + caddc 7718   < clt 7895   <_ cle 7896   - cmin 8029   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422  ..^cfzo 10023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-fzo 10024
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator