ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Unicode version

Theorem fzosplitprm1 9951
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )

Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 964 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  ZZ )
2 simp2 965 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ZZ )
3 zre 9009 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4 zre 9009 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
5 ltle 7815 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
63, 4, 5syl2an 285 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
763impia 1161 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <_  B )
8 eluz2 9281 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1148 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
10 fzosplitsn 9950 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
119, 10syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
12 zcn 9010 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
13 ax-1cn 7677 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
14 npcan 7935 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
1514eqcomd 2121 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
1612, 13, 15sylancl 407 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
17163ad2ant2 986 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
1817oveq2d 5756 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ B )  =  ( A..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) )
19 peano2zm 9043 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
20193ad2ant2 986 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
21 zltlem1 9062 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  A  <_  ( B  - 
1 ) ) )
2221biimp3a 1306 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <_  ( B  -  1 ) )
23 eluz2 9281 . . . . . 6  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  -  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_ 
( B  -  1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1148 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )
25 fzosplitsn 9950 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2148 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2827uneq1d 3197 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ B )  u.  { B }
)  =  ( ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } ) )
29 unass 3201 . . 3  |-  ( ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } ) )
30 df-pr 3502 . . . . . 6  |-  { ( B  -  1 ) ,  B }  =  ( { ( B  - 
1 ) }  u.  { B } )
3130eqcomi 2119 . . . . 5  |-  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } )  =  {
( B  -  1 ) ,  B }
3231a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( { ( B  - 
1 ) }  u.  { B } )  =  { ( B  - 
1 ) ,  B } )
3332uneq2d 3198 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
3429, 33syl5eq 2160 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2152 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    u. cun 3037   {csn 3495   {cpr 3496   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275  ..^cfzo 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-fzo 9860
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator