ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Unicode version
Theorem fzosplitprm1 10042
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. ZZ )
2 simp2 983 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ZZ )
3 zre 9082 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4 zre 9082 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5 ltle 7875 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
63, 4, 5syl2an 287 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
763impia 1179 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ B )
8 eluz2 9356 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A <_ B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1166 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
10 fzosplitsn 10041 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
119, 10syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
12 zcn 9083 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
13 ax-1cn 7737 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
14 npcan 7995 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
1514eqcomd 2146 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1612, 13, 15sylancl 410 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
17163ad2ant2 1004 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1817oveq2d 5798 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
19 peano2zm 9116 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
20193ad2ant2 1004 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 zltlem1 9135 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> A <_ ( B - 1 ) ) )
2221biimp3a 1324 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ ( B - 1 ) )
23 eluz2 9356 . . . . . 6 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B - 1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1166 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
25 fzosplitsn 10041 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2173 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2827uneq1d 3234 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ B ) u. { B } ) = ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) )
29 unass 3238 . . 3 |- ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) )
30 df-pr 3539 . . . . . 6 |- { ( B - 1 ) , B } = ( { ( B - 1 ) } u. { B } )
3130eqcomi 2144 . . . . 5 |- ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B }
3231a1i 9 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B } )
3332uneq2d 3235 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3429, 33syl5eq 2185 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2177 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   {csn 3532   {cpr 3533   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350  ..^cfzo 9950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator