ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Unicode version
Theorem fzosplitprm1 10301
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 999 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. ZZ )
2 simp2 1000 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ZZ )
3 zre 9321 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4 zre 9321 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5 ltle 8107 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
63, 4, 5syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
763impia 1202 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ B )
8 eluz2 9598 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A <_ B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1183 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
10 fzosplitsn 10300 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
119, 10syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
12 zcn 9322 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
13 ax-1cn 7965 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
14 npcan 8228 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
1514eqcomd 2199 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1612, 13, 15sylancl 413 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
17163ad2ant2 1021 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1817oveq2d 5934 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
19 peano2zm 9355 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
20193ad2ant2 1021 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 zltlem1 9374 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> A <_ ( B - 1 ) ) )
2221biimp3a 1356 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ ( B - 1 ) )
23 eluz2 9598 . . . . . 6 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B - 1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1183 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
25 fzosplitsn 10300 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2226 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2827uneq1d 3312 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ B ) u. { B } ) = ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) )
29 unass 3316 . . 3 |- ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) )
30 df-pr 3625 . . . . . 6 |- { ( B - 1 ) , B } = ( { ( B - 1 ) } u. { B } )
3130eqcomi 2197 . . . . 5 |- ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B }
3231a1i 9 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B } )
3332uneq2d 3313 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3429, 33eqtrid 2238 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2230 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   {csn 3618   {cpr 3619   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592  ..^cfzo 10208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator