ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Unicode version

Theorem fzosplitprm1 9610
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )

Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 943 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  ZZ )
2 simp2 944 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ZZ )
3 zre 8724 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4 zre 8724 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
5 ltle 7551 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
63, 4, 5syl2an 283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
763impia 1140 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <_  B )
8 eluz2 8994 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1127 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
10 fzosplitsn 9609 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
119, 10syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
12 zcn 8725 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
13 ax-1cn 7417 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
14 npcan 7670 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
1514eqcomd 2093 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
1612, 13, 15sylancl 404 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
17163ad2ant2 965 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  =  ( ( B  -  1 )  +  1 ) )
1817oveq2d 5650 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ B )  =  ( A..^ ( ( B  -  1 )  +  1 ) ) )
19 peano2zm 8758 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
20193ad2ant2 965 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
21 zltlem1 8777 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  A  <_  ( B  - 
1 ) ) )
2221biimp3a 1281 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <_  ( B  -  1 ) )
23 eluz2 8994 . . . . . 6  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  -  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_ 
( B  -  1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1127 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )
25 fzosplitsn 9609 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( ( B  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2120 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ B )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } ) )
2827uneq1d 3151 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ B )  u.  { B }
)  =  ( ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } ) )
29 unass 3155 . . 3  |-  ( ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } ) )
30 df-pr 3448 . . . . . 6  |-  { ( B  -  1 ) ,  B }  =  ( { ( B  - 
1 ) }  u.  { B } )
3130eqcomi 2092 . . . . 5  |-  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } )  =  {
( B  -  1 ) ,  B }
3231a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( { ( B  - 
1 ) }  u.  { B } )  =  { ( B  - 
1 ) ,  B } )
3332uneq2d 3152 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  ( { ( B  -  1 ) }  u.  { B } ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
3429, 33syl5eq 2132 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) } )  u.  { B } )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2124 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A..^ ( B  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  -  1 ) )  u.  { ( B  -  1 ) ,  B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    u. cun 2995   {csn 3441   {cpr 3442   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator