Theorem fzosplitpr 10478

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitpr	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Proof of Theorem fzosplitpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9201	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 2 = (1 + 1))
3	2	oveq2d 6033	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = (𝐵 + (1 + 1)))
4		eluzelcn 9766	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		1cnd 8194	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6		add32r 8338	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
8	3, 7	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = ((𝐵 + 1) + 1))
9	8	oveq2d 6033	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)))
10		peano2uz 9816	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
11		fzosplitsn 10477	. . 3 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
13		fzosplitsn 10477	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
14	13	uneq1d 3360	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}))
15		unass 3364	. . . 4 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})))
17		df-pr 3676	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, (𝐵 + 1)} = ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})
18	17	eqcomi 2235	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)}
19	18	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)})
20	19	uneq2d 3361	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
21	14, 16, 20	3eqtrd 2268	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
22	9, 12, 21	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3198  {csn 3669  {cpr 3670  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  1c1 8032   + caddc 8034  2c2 9193  ℤ_≥cuz 9754  ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2lem1  16287