Theorem fzosplitpr 10467

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitpr	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Proof of Theorem fzosplitpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9190	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 2 = (1 + 1))
3	2	oveq2d 6027	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = (𝐵 + (1 + 1)))
4		eluzelcn 9755	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		1cnd 8183	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6		add32r 8327	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
7	4, 5, 5, 6	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
8	3, 7	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 2) = ((𝐵 + 1) + 1))
9	8	oveq2d 6027	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)))
10		peano2uz 9805	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
11		fzosplitsn 10466	. . 3 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
13		fzosplitsn 10466	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
14	13	uneq1d 3358	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}))
15		unass 3362	. . . 4 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})))
17		df-pr 3674	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, (𝐵 + 1)} = ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})
18	17	eqcomi 2233	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)}
19	18	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)})
20	19	uneq2d 3359	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
21	14, 16, 20	3eqtrd 2266	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
22	9, 12, 21	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3196  {csn 3667  {cpr 3668  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  ℂcc 8018  1c1 8021   + caddc 8023  2c2 9182  ℤ_≥cuz 9743  ..^cfzo 10365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-2 9190  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2lem1  16222