ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitsni Unicode version

Theorem fzosplitsni 10203
Description: Membership in a half-open range extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsni  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ ( B  +  1 ) )  <-> 
( C  e.  ( A..^ B )  \/  C  =  B ) ) )

Proof of Theorem fzosplitsni
StepHypRef Expression
1 fzosplitsn 10201 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
21eleq2d 2245 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ ( B  +  1 ) )  <-> 
C  e.  ( ( A..^ B )  u. 
{ B } ) ) )
3 elun 3274 . . 3  |-  ( C  e.  ( ( A..^ B )  u.  { B } )  <->  ( C  e.  ( A..^ B )  \/  C  e.  { B } ) )
4 elsn2g 3622 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  { B }  <->  C  =  B ) )
54orbi2d 790 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( C  e.  ( A..^ B )  \/  C  e.  { B } )  <-> 
( C  e.  ( A..^ B )  \/  C  =  B ) ) )
63, 5bitrid 192 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( ( A..^ B
)  u.  { B } )  <->  ( C  e.  ( A..^ B )  \/  C  =  B ) ) )
72, 6bitrd 188 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C  e.  ( A..^ ( B  +  1 ) )  <-> 
( C  e.  ( A..^ B )  \/  C  =  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2146    u. cun 3125   {csn 3589   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   1c1 7787    + caddc 7789   ZZ>=cuz 9499  ..^cfzo 10110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978  df-fzo 10111
This theorem is referenced by:  fzostep1  10205
  Copyright terms: Public domain W3C validator