Theorem fzosplitsni 10277

Description: Membership in a half-open range extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsni	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. ( A..^ ( B + 1 ) ) <-> ( C e. ( A..^ B ) \/ C = B ) ) )

Proof of Theorem fzosplitsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosplitsn 10275	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
2	1	eleq2d 2259	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. ( A..^ ( B + 1 ) ) <-> C e. ( ( A..^ B ) u. { B } ) ) )
3		elun 3295	. . 3 |- ( C e. ( ( A..^ B ) u. { B } ) <-> ( C e. ( A..^ B ) \/ C e. { B } ) )
4		elsn2g 3647	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
5	4	orbi2d 791	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( C e. ( A..^ B ) \/ C e. { B } ) <-> ( C e. ( A..^ B ) \/ C = B ) ) )
6	3, 5	bitrid 192	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. ( ( A..^ B ) u. { B } ) <-> ( C e. ( A..^ B ) \/ C = B ) ) )
7	2, 6	bitrd 188	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C e. ( A..^ ( B + 1 ) ) <-> ( C e. ( A..^ B ) \/ C = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3146   {csn 3614   ` cfv 5242  (class class class)co 5904   1c1 7852   + caddc 7854   ZZ>=cuz 9569  ..^cfzo 10184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-addcom 7951  ax-addass 7953  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0lt1 7957  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-cnre 7962  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965  ax-pre-apti 7966  ax-pre-ltadd 7967

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-1st 6173  df-2nd 6174  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-sub 8171  df-neg 8172  df-inn 8961  df-n0 9218  df-z 9295  df-uz 9570  df-fz 10051  df-fzo 10185

This theorem is referenced by:  fzostep1  10279