Theorem fzosplitsni 10453

Description: Membership in a half-open range extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsni	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Proof of Theorem fzosplitsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosplitsn 10451	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
2	1	eleq2d 2299	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵})))
3		elun 3345	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝐶 ∈ {𝐵}))
4		elsn2g 3699	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
5	4	orbi2d 795	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝐶 ∈ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
6	3, 5	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
7	2, 6	bitrd 188	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {csn 3666  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013  ℤ_≥cuz 9733  ..^cfzo 10350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351

This theorem is referenced by:  fzostep1  10455