Theorem fzisfzounsn 10256

Description: A finite interval of integers as union of a half-open integer range and a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzisfzounsn	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A ... B ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Proof of Theorem fzisfzounsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9557	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
2		fzval3 10224	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( A ... B ) = ( A..^ ( B + 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A ... B ) = ( A..^ ( B + 1 ) ) )
4		fzosplitsn 10253	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
5	3, 4	eqtrd 2222	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A ... B ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3142   {csn 3607   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   1c1 7832   + caddc 7834   ZZcz 9273   ZZ>=cuz 9548   ...cfz 10028  ..^cfzo 10162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-fz 10029  df-fzo 10163

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqk  10514  seq3f1olemstep  10521  resunimafz0  10831  trilpolemeq1  15193  nconstwlpolemgt0  15217