Theorem fzossfzop1 10543

Description: A half-open range of nonnegative integers is a subset of a half-open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzossfzop1	|- ( N e. NN0 -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ ( N + 1 ) ) )

Proof of Theorem fzossfzop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9583	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		id 19	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
3		peano2z 9599	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		zre 9567	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
5	4	lep1d 9193	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N + 1 ) )
6	2, 3, 5	3jca 1204	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ N <_ ( N + 1 ) ) )
7	1, 6	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ N <_ ( N + 1 ) ) )
8		eluz2 9845	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ N <_ ( N + 1 ) ) )
9	7, 8	sylibr 134	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
10		fzoss2 10494	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
11	9, 10	syl 14	1 |- ( N e. NN0 -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   C_ wss 3210   class class class wbr 4102   ` cfv 5343  (class class class)co 6041   0cc0 8115   1c1 8116   + caddc 8118   <_ cle 8297   NN0cn0 9484   ZZcz 9563   ZZ>=cuz 9839  ..^cfzo 10462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-inn 9226  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-fz 10329  df-fzo 10463

This theorem is referenced by: (None)