ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzossfzop1 GIF version

Theorem fzossfzop1 10185
Description: A half-open range of nonnegative integers is a subset of a half-open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzossfzop1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzossfzop1
StepHypRef Expression
1 nn0z 9249 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 id 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
3 peano2z 9265 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4 zre 9233 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
54lep1d 8864 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
62, 3, 53jca 1177 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
71, 6syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
8 eluz2 9510 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
97, 8sylibr 134 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
10 fzoss2 10145 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
119, 10syl 14 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978  wcel 2148  wss 3129   class class class wbr 4000  cfv 5211  (class class class)co 5868  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792  cle 7970  0cn0 9152  cz 9229  cuz 9504  ..^cfzo 10115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-fzo 10116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator