Theorem fzossfzop1 10611

Description: A half-open range of nonnegative integers is a subset of a half-open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzossfzop1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzossfzop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9646	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2z 9662	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 9630	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	lep1d 9254	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
6	2, 3, 5	3jca 1208	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
7	1, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
8		eluz2 9909	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
9	7, 8	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10		fzoss2 10562	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
11	9, 10	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078  0cc0 8172  1c1 8173   + caddc 8175   ≤ cle 8354  ℕ₀cn0 9545  ℤcz 9626  ℤ_≥cuz 9903  ..^cfzo 10530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-fzo 10531

This theorem is referenced by: (None)