Theorem fzosubel2 10140

Description: Membership in a translated half-open integer range implies translated membership in the original range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel2	⊢ ((𝐴 ∈ ((𝐵 + 𝐶)..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶..^𝐷))

Proof of Theorem fzosubel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosubel 10139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((𝐵 + 𝐶)..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐷) − 𝐵)))
2	1	3ad2antr1 1157	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ((𝐵 + 𝐶)..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐷) − 𝐵)))
3		zcn 9206	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		zcn 9206	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
5		zcn 9206	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
6		pncan2 8115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
7	6	3adant3 1012	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
8		pncan2 8115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐷) − 𝐵) = 𝐷)
9	8	3adant2 1011	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐷) − 𝐵) = 𝐷)
10	7, 9	oveq12d 5869	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐷) − 𝐵)) = (𝐶..^𝐷))
11	3, 4, 5, 10	syl3an 1275	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐷) − 𝐵)) = (𝐶..^𝐷))
12	11	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ((𝐵 + 𝐶)..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐷) − 𝐵)) = (𝐶..^𝐷))
13	2, 12	eleqtrd 2249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ((𝐵 + 𝐶)..^(𝐵 + 𝐷)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶..^𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5851  ℂcc 7761   + caddc 7766   − cmin 8079  ℤcz 9201  ..^cfzo 10087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-fz 9955  df-fzo 10088

This theorem is referenced by:  fzosubel3  10141