Theorem grpnpcan 13494

Description: Cancellation law for subtraction (npcan 8296 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpnpcan	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem grpnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 13450	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1019	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
5		grpsubadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	1, 5	grpcl 13410	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
7	4, 6	syld3an3 1295	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
8		grpsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
9	1, 5, 2, 8	grpsubval 13448	. . 3 ⊢ (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) − ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌))))
10	7, 4, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) − ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌))))
11	1, 5, 8	grppncan 13493	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) − ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋)
12	4, 11	syld3an3 1295	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) − ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑋)
13	1, 5, 2, 8	grpsubval 13448	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
14	13	3adant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
15	14	eqcomd 2212	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 − 𝑌))
16	1, 2	grpinvinv 13469	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	3adant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
18	15, 17	oveq12d 5974	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘𝑌))) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌))
19	10, 12, 18	3eqtr3rd 2248	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  Basecbs 12902  +_gcplusg 12979  Grpcgrp 13402  inv_gcminusg 13403  -_gcsg 13404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1re 8034  ax-addrcl 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-inn 9052  df-2 9110  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-plusg 12992  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-grp 13405  df-minusg 13406  df-sbg 13407

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  13495  grpnpncan  13497  grpnnncan2  13499  dfgrp3m  13501  nsgconj  13612  conjghm  13682  conjnmz  13685  ablpncan3  13723  lmodvnpcan  14173