Theorem imasgrpf1 13185

Description: The image of a group under an injection is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrpf1.u	|- U = ( F "s R )
imasgrpf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasgrpf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U e. Grp )

Proof of Theorem imasgrpf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrpf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasgrpf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqidd 2194	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
6		f1f1orn 5512	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
8		f1ofo 5508	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> F : V -onto-> ran F )
10	7	f1ocpbl 12897	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
11		simpr 110	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> R e. Grp )
12		eqid 2193	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
13	2, 4, 5, 9, 10, 11, 12	imasgrp 13184	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> ( U e. Grp /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
14	13	simpld 112	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Grp ) -> U e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ran crn 4661   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   "_s cimas 12885   Grpcgrp 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-iimas 12888  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079

This theorem is referenced by: (None)