Theorem iseqf1olemnanb 10294

Description: Lemma for seq3f1o 10308. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.a	|- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
iseqf1olemnab.b	|- ( ph -> B e. ( M ... N ) )
iseqf1olemnab.eq	|- ( ph -> ( Q ` A ) = ( Q ` B ) )
iseqf1olemnab.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemnanb.a	|- ( ph -> -. A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
iseqf1olemnanb.b	|- ( ph -> -. B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnanb	|- ( ph -> A = B )

Distinct variable groups:   u, A   u, B   u, J   u, K   u, M   u, N

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)

Proof of Theorem iseqf1olemnanb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` A ) = ( Q ` B ) )
2		iseqf1olemqcl.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
3		iseqf1olemqcl.j	. . . . 5 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4		iseqf1olemqcl.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
5		iseqf1olemnab.q	. . . . 5 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
6	2, 3, 4, 5	iseqf1olemqval 10291	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )
7		iseqf1olemnanb.a	. . . . 5 |- ( ph -> -. A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
8	7	iffalsed 3489	. . . 4 |- ( ph -> if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) = ( J ` A ) )
9	6, 8	eqtrd 2173	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` A ) = ( J ` A ) )
10		iseqf1olemnab.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( M ... N ) )
11	2, 3, 10, 5	iseqf1olemqval 10291	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` B ) = if ( B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) , ( J ` B ) ) )
12		iseqf1olemnanb.b	. . . . 5 |- ( ph -> -. B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
13	12	iffalsed 3489	. . . 4 |- ( ph -> if ( B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) , ( J ` B ) ) = ( J ` B ) )
14	11, 13	eqtrd 2173	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` B ) = ( J ` B ) )
15	1, 9, 14	3eqtr3d 2181	. 2 |- ( ph -> ( J ` A ) = ( J ` B ) )
16		f1of1 5374	. . . 4 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) -1-1-> ( M ... N ) )
17	3, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-> ( M ... N ) )
18		f1veqaeq 5678	. . 3 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-> ( M ... N ) /\ ( A e. ( M ... N ) /\ B e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( J ` A ) = ( J ` B ) -> A = B ) )
19	17, 4, 10, 18	syl12anc 1215	. 2 |- ( ph -> ( ( J ` A ) = ( J ` B ) -> A = B ) )
20	15, 19	mpd 13	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   ifcif 3479   |-> cmpt 3997   `'ccnv 4546   -1-1->wf1 5128   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1c1 7645   - cmin 7957   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10296