Theorem iseqf1olemqf 10870

Description: Lemma for seq3f1o 10883. Domain and codomain of Q. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqf	|- ( ph -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, K   u, M   u, N   ph, u

Allowed substitution hint:   Q( u)

Proof of Theorem iseqf1olemqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. ( M ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )
3		iseqf1olemqf.j	. . . 4 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. ( M ... N ) ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. ( M ... N ) ) -> u e. ( M ... N ) )
6	2, 4, 5	iseqf1olemqcl 10865	. 2 |- ( ( ph /\ u e. ( M ... N ) ) -> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) e. ( M ... N ) )
7		iseqf1olemqf.q	. 2 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
8	6, 7	fmptd 5833	1 |- ( ph -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ifcif 3622   |-> cmpt 4173   `'ccnv 4750   -->wf 5350   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   1c1 8130   - cmin 8446   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10872  iseqf1olemqpcl  10875  seq3f1olemqsum  10879