ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqf Unicode version

Theorem iseqf1olemqf 10271
Description: Lemma for seq3f1o 10284. Domain and codomain of  Q. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqf  |-  ( ph  ->  Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
Distinct variable groups:    u, J    u, K    u, M    u, N    ph, u
Allowed substitution hint:    Q( u)

Proof of Theorem iseqf1olemqf
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemqf.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
21adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) )
3 iseqf1olemqf.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
43adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M ... N ) )  ->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
5 simpr 109 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M ... N ) )  ->  u  e.  ( M ... N ) )
62, 4, 5iseqf1olemqcl 10266 . 2  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M ... N ) )  ->  if (
u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K , 
( J `  (
u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u ) )  e.  ( M ... N ) )
7 iseqf1olemqf.q . 2  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
86, 7fmptd 5574 1  |-  ( ph  ->  Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   ifcif 3474    |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7628    - cmin 7940   ...cfz 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798
This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10273  iseqf1olemqpcl  10276  seq3f1olemqsum  10280
  Copyright terms: Public domain W3C validator