ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemnanb GIF version

Theorem iseqf1olemnanb 10416
Description: Lemma for seq3f1o 10430. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqcl.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝑄𝐵))
iseqf1olemnab.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemnanb.a (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
iseqf1olemnanb.b (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemnanb (𝜑𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnanb
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemnab.eq . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝑄𝐵))
2 iseqf1olemqcl.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3 iseqf1olemqcl.j . . . . 5 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4 iseqf1olemqcl.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
5 iseqf1olemnab.q . . . . 5 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
62, 3, 4, 5iseqf1olemqval 10413 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
7 iseqf1olemnanb.a . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
87iffalsed 3526 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) = (𝐽𝐴))
96, 8eqtrd 2197 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝐽𝐴))
10 iseqf1olemnab.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
112, 3, 10, 5iseqf1olemqval 10413 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽𝐵)))
12 iseqf1olemnanb.b . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
1312iffalsed 3526 . . . 4 (𝜑 → if(𝐵 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽𝐵)) = (𝐽𝐵))
1411, 13eqtrd 2197 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐵) = (𝐽𝐵))
151, 9, 143eqtr3d 2205 . 2 (𝜑 → (𝐽𝐴) = (𝐽𝐵))
16 f1of1 5426 . . . 4 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
173, 16syl 14 . . 3 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
18 f1veqaeq 5732 . . 3 ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1917, 4, 10, 18syl12anc 1225 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
2015, 19mpd 13 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1342  wcel 2135  ifcif 3516  cmpt 4038  ccnv 4598  1-1wf1 5180  1-1-ontowf1o 5182  cfv 5183  (class class class)co 5837  1c1 7746  cmin 8061  ...cfz 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-ltadd 7861
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-if 3517  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-fz 9937
This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10418
  Copyright terms: Public domain W3C validator