Theorem iseqf1olemnanb 10828

Description: Lemma for seq3f1o 10842. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemnanb.a	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
iseqf1olemnanb.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnanb	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnanb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
2		iseqf1olemqcl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqcl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		iseqf1olemqcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemnab.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
6	2, 3, 4, 5	iseqf1olemqval 10825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
7		iseqf1olemnanb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
8	7	iffalsed 3619	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = (𝐽‘𝐴))
9	6, 8	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝐽‘𝐴))
10		iseqf1olemnab.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
11	2, 3, 10, 5	iseqf1olemqval 10825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
12		iseqf1olemnanb.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13	12	iffalsed 3619	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = (𝐽‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘𝐵))
15	1, 9, 14	3eqtr3d 2272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵))
16		f1of1 5591	. . . 4 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
17	3, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
18		f1veqaeq 5920	. . 3 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
19	17, 4, 10, 18	syl12anc 1272	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
20	15, 19	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ifcif 3607   ↦ cmpt 4155  ^◡ccnv 4730  –1-1→wf1 5330  –1-1-onto→wf1o 5332  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1c1 8093   − cmin 8409  ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10830