Theorem iseqf1olemnanb 10961

Description: Lemma for seq3f1o 10975. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemnanb.a	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
iseqf1olemnanb.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnanb	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnanb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
2		iseqf1olemqcl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqcl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		iseqf1olemqcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemnab.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
6	2, 3, 4, 5	iseqf1olemqval 10958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
7		iseqf1olemnanb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
8	7	iffalsed 3650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = (𝐽‘𝐴))
9	6, 8	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝐽‘𝐴))
10		iseqf1olemnab.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
11	2, 3, 10, 5	iseqf1olemqval 10958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
12		iseqf1olemnanb.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13	12	iffalsed 3650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = (𝐽‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘𝐵))
15	1, 9, 14	3eqtr3d 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵))
16		f1of1 5641	. . . 4 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
17	3, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
18		f1veqaeq 5978	. . 3 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
19	17, 4, 10, 18	syl12anc 1276	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
20	15, 19	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ifcif 3638   ↦ cmpt 4193  ^◡ccnv 4775  –1-1→wf1 5377  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1c1 8186   − cmin 8504  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  iseqf1olemmo  10963