Theorem iseqf1olemnanb 10865

Description: Lemma for seq3f1o 10879. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemnanb.a	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
iseqf1olemnanb.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnanb	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnanb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
2		iseqf1olemqcl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqcl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		iseqf1olemqcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemnab.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
6	2, 3, 4, 5	iseqf1olemqval 10862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
7		iseqf1olemnanb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
8	7	iffalsed 3632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = (𝐽‘𝐴))
9	6, 8	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝐽‘𝐴))
10		iseqf1olemnab.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
11	2, 3, 10, 5	iseqf1olemqval 10862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
12		iseqf1olemnanb.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13	12	iffalsed 3632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = (𝐽‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘𝐵))
15	1, 9, 14	3eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵))
16		f1of1 5613	. . . 4 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
17	3, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
18		f1veqaeq 5942	. . 3 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
19	17, 4, 10, 18	syl12anc 1272	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
20	15, 19	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ifcif 3620   ↦ cmpt 4171  ^◡ccnv 4748  –1-1→wf1 5349  –1-1-onto→wf1o 5351  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   − cmin 8444  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10867