Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemnanb GIF version

Theorem iseqf1olemnanb 9973
 Description: Lemma for seq3f1o 9987. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqcl.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝑄𝐵))
iseqf1olemnab.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemnanb.a (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
iseqf1olemnanb.b (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemnanb (𝜑𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnanb
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemnab.eq . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝑄𝐵))
2 iseqf1olemqcl.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3 iseqf1olemqcl.j . . . . 5 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4 iseqf1olemqcl.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
5 iseqf1olemnab.q . . . . 5 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
62, 3, 4, 5iseqf1olemqval 9970 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
7 iseqf1olemnanb.a . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
87iffalsed 3407 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) = (𝐽𝐴))
96, 8eqtrd 2121 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝐽𝐴))
10 iseqf1olemnab.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
112, 3, 10, 5iseqf1olemqval 9970 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽𝐵)))
12 iseqf1olemnanb.b . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
1312iffalsed 3407 . . . 4 (𝜑 → if(𝐵 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽𝐵)) = (𝐽𝐵))
1411, 13eqtrd 2121 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐵) = (𝐽𝐵))
151, 9, 143eqtr3d 2129 . 2 (𝜑 → (𝐽𝐴) = (𝐽𝐵))
16 f1of1 5265 . . . 4 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
173, 16syl 14 . . 3 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
18 f1veqaeq 5562 . . 3 ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1917, 4, 10, 18syl12anc 1173 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
2015, 19mpd 13 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ifcif 3397   ↦ cmpt 3905  ◡ccnv 4450  –1-1→wf1 5025  –1-1-onto→wf1o 5027  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  1c1 7405   − cmin 7707  ...cfz 9478 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-fz 9479 This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  9975
 Copyright terms: Public domain W3C validator