Theorem iseqf1olemnanb 10256

Description: Lemma for seq3f1o 10270. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemnab.eq	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
iseqf1olemnab.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemnanb.a	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
iseqf1olemnanb.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemnanb	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemnanb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemnab.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑄‘𝐵))
2		iseqf1olemqcl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqcl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		iseqf1olemqcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemnab.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
6	2, 3, 4, 5	iseqf1olemqval 10253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
7		iseqf1olemnanb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
8	7	iffalsed 3479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) = (𝐽‘𝐴))
9	6, 8	eqtrd 2170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝐽‘𝐴))
10		iseqf1olemnab.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))
11	2, 3, 10, 5	iseqf1olemqval 10253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)))
12		iseqf1olemnanb.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
13	12	iffalsed 3479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐵 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐵 − 1))), (𝐽‘𝐵)) = (𝐽‘𝐵))
14	11, 13	eqtrd 2170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐵) = (𝐽‘𝐵))
15	1, 9, 14	3eqtr3d 2178	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵))
16		f1of1 5359	. . . 4 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
17	3, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
18		f1veqaeq 5663	. . 3 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ∧ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
19	17, 4, 10, 18	syl12anc 1214	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
20	15, 19	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ifcif 3469   ↦ cmpt 3984  ^◡ccnv 4533  –1-1→wf1 5115  –1-1-onto→wf1o 5117  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  1c1 7614   − cmin 7926  ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10258