Theorem seq3f1o 10439

Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on ( M ... N ). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.h	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
iseqf1o.8	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1o	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, M, y, z   k, M   x, N, y, z   k, N   x, G, y, z   k, G   x, F, y, z   k, F   x, H, y, k   x, S, y, z   S, k   x, .+ , y, z   .+ , k   ph, x, y, z   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   H( z)

Proof of Theorem seq3f1o

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzle2 9963	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
3	2	iftrued 3527	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
5		elfzuz 9956	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
6		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` k ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
7	6	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. S ) )
8		iseqf1o.7	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
9	8	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
10	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
11		iseqf1o.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
12		f1of 5432	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
14	13	ffvelrnda 5620	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
15		elfzuz 9956	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` M ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` M ) )
17	7, 10, 16	rspcdva 2835	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. S )
18	4, 17	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
19		breq1 3985	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a <_ N <-> k <_ N ) )
20		2fveq3 5491	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( G ` ( F ` a ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
21	19, 20	ifbieq1d 3542	. . . . . 6 |- ( a = k -> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
22		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) )
23	21, 22	fvmptg 5562	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
24	5, 18, 23	syl2an2 584	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
25		iseqf1o.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
26	4, 24, 25	3eqtr4rd 2209	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) )
27		iseqf1o.h	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
28		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
29		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` x ) -> ( G ` b ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
30	29	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( b = ( F ` x ) -> ( ( G ` b ) e. S <-> ( G ` ( F ` x ) ) e. S ) )
31		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( G ` x ) = ( G ` b ) )
32	31	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` b ) e. S ) )
33	32	cbvralv 2692	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
34	9, 33	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
35	34	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
36	13	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
37		eluzel2 9471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
39	38	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> M e. ZZ )
40		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
41	1, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
43		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
44	43	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ZZ )
45		eluzle 9478	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
46	45	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> M <_ x )
47		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
48		elfz4 9953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
49	39, 42, 44, 46, 47, 48	syl32anc 1236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
50	36, 49	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( F ` x ) e. ( M ... N ) )
51		elfzuz 9956	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> ( F ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( F ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
53	30, 35, 52	rspcdva 2835	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( F ` x ) ) e. S )
54		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
55	54	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
56		uzid 9480	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
57	38, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
58	55, 9, 57	rspcdva 2835	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` M ) e. S )
59	58	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
60	41	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
61		zdcle 9267	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
62	43, 60, 61	syl2an2 584	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
63	53, 59, 62	ifcldadc 3549	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
64		breq1 3985	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( a <_ N <-> x <_ N ) )
65		2fveq3 5491	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( G ` ( F ` a ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
66	64, 65	ifbieq1d 3542	. . . . . 6 |- ( a = x -> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
67	66, 22	fvmptg 5562	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
68	28, 63, 67	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
69	68, 63	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) e. S )
70		iseqf1o.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	1, 26, 27, 69, 70	seq3fveq 10406	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) )
72		iseqf1o.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
73		iseqf1o.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
74	66	cbvmptv 4078	. . 3 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
75	70, 72, 73, 1, 11, 8, 74	seq3f1oleml 10438	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
76	71, 75	eqtrd 2198	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  summodclem3  11321  prodmodclem3  11516