Theorem seq3f1o 9921

Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on ( M ... N ). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.h	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
iseqf1o.8	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1o	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, M, y, z   k, M   x, N, y, z   k, N   x, G, y, z   k, G   x, F, y, z   k, F   x, H, y, k   x, S, y, z   S, k   x, .+ , y, z   .+ , k   ph, x, y, z   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   H( z)

Proof of Theorem seq3f1o

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzle2 9432	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
3	2	iftrued 3398	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
4	3	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
5		elfzuz 9426	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
6		fveq2 5299	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` k ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
7	6	eleq1d 2156	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. S ) )
8		iseqf1o.7	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
9	8	ralrimiva 2446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
10	9	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
11		iseqf1o.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
12		f1of 5247	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
14	13	ffvelrnda 5428	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
15		elfzuz 9426	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` M ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` M ) )
17	7, 10, 16	rspcdva 2727	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. S )
18	4, 17	eqeltrd 2164	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
19		breq1 3846	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a <_ N <-> k <_ N ) )
20		2fveq3 5304	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( G ` ( F ` a ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
21	19, 20	ifbieq1d 3411	. . . . . 6 |- ( a = k -> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
22		eqid 2088	. . . . . 6 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) )
23	21, 22	fvmptg 5374	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
24	5, 18, 23	syl2an2 561	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
25		iseqf1o.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
26	4, 24, 25	3eqtr4rd 2131	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) )
27		iseqf1o.h	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
28		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
29		fveq2 5299	. . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` x ) -> ( G ` b ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
30	29	eleq1d 2156	. . . . . . 7 |- ( b = ( F ` x ) -> ( ( G ` b ) e. S <-> ( G ` ( F ` x ) ) e. S ) )
31		fveq2 5299	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( G ` x ) = ( G ` b ) )
32	31	eleq1d 2156	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` b ) e. S ) )
33	32	cbvralv 2590	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
34	9, 33	sylib 120	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
35	34	ad2antrr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
36	13	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
37		eluzel2 9014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
39	38	ad2antrr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> M e. ZZ )
40		eluzelz 9018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
41	1, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
43		eluzelz 9018	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
44	43	ad2antlr 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ZZ )
45		eluzle 9021	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
46	45	ad2antlr 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> M <_ x )
47		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
48		elfz4 9423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
49	39, 42, 44, 46, 47, 48	syl32anc 1182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
50	36, 49	ffvelrnd 5429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( F ` x ) e. ( M ... N ) )
51		elfzuz 9426	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> ( F ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( F ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
53	30, 35, 52	rspcdva 2727	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( F ` x ) ) e. S )
54		fveq2 5299	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
55	54	eleq1d 2156	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
56		uzid 9023	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
57	38, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
58	55, 9, 57	rspcdva 2727	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` M ) e. S )
59	58	ad2antrr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
60	41	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
61		zdcle 8813	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
62	43, 60, 61	syl2an2 561	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
63	53, 59, 62	ifcldadc 3418	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
64		breq1 3846	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( a <_ N <-> x <_ N ) )
65		2fveq3 5304	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( G ` ( F ` a ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
66	64, 65	ifbieq1d 3411	. . . . . 6 |- ( a = x -> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
67	66, 22	fvmptg 5374	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
68	28, 63, 67	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
69	68, 63	eqeltrd 2164	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) e. S )
70		iseqf1o.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	1, 26, 27, 69, 70	seq3fveq 9883	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) )
72		iseqf1o.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
73		iseqf1o.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
74	66	cbvmptv 3932	. . 3 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
75	70, 72, 73, 1, 11, 8, 74	seq3f1oleml 9920	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
76	71, 75	eqtrd 2120	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102  DECID wdc 780   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   ifcif 3391   class class class wbr 3843   |-> cmpt 3897   -->wf 5006   -1-1-onto->wf1o 5009   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   <_ cle 7513   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009   ...cfz 9414   seqcseq 9840

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-1o 6173  df-er 6282  df-en 6448  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-iseq 9841  df-seq3 9842

This theorem is referenced by:  isummolem3  10757