ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3f1o Unicode version

Theorem seq3f1o 9921
Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on  ( M ... N
). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1o.h  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
iseqf1o.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1o  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, M, y, z    k, M    x, N, y, z    k, N   
x, G, y, z   
k, G    x, F, y, z    k, F    x, H, y, k    x, S, y, z    S, k   
x,  .+ , y, z    .+ , k    ph, x, y, z    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    H( z)

Proof of Theorem seq3f1o
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 elfzle2 9432 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  <_  N )
32iftrued 3398 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( F `  k ) ) ,  ( G `
 M ) )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
43adantl 271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if (
k  <_  N , 
( G `  ( F `  k )
) ,  ( G `
 M ) )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
5 elfzuz 9426 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 fveq2 5299 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
76eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  S
) )
8 iseqf1o.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
98ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
109adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  x
)  e.  S )
11 iseqf1o.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
12 f1of 5247 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1413ffvelrnda 5428 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
15 elfzuz 9426 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1614, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
177, 10, 16rspcdva 2727 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  S
)
184, 17eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if (
k  <_  N , 
( G `  ( F `  k )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )
19 breq1 3846 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  (
a  <_  N  <->  k  <_  N ) )
20 2fveq3 5304 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  ( G `  ( F `  a ) )  =  ( G `  ( F `  k )
) )
2119, 20ifbieq1d 3411 . . . . . 6  |-  ( a  =  k  ->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a ) ) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( F `
 k ) ) ,  ( G `  M ) ) )
22 eqid 2088 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) )
2321, 22fvmptg 5374 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( F `  k ) ) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  k
)  =  if ( k  <_  N , 
( G `  ( F `  k )
) ,  ( G `
 M ) ) )
245, 18, 23syl2an2 561 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  ( F `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) `  k )  =  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( F `
 k ) ) ,  ( G `  M ) ) )
25 iseqf1o.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
264, 24, 253eqtr4rd 2131 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a ) ) ,  ( G `
 M ) ) ) `  k ) )
27 iseqf1o.h . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
28 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
29 fveq2 5299 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  x )  ->  ( G `  b )  =  ( G `  ( F `  x ) ) )
3029eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  x )  ->  (
( G `  b
)  e.  S  <->  ( G `  ( F `  x
) )  e.  S
) )
31 fveq2 5299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  ( G `  x )  =  ( G `  b ) )
3231eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  b )  e.  S
) )
3332cbvralv 2590 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 x )  e.  S  <->  A. b  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  b )  e.  S )
349, 33sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. b  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  b )  e.  S )
3534ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  A. b  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  b
)  e.  S )
3613ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
37 eluzel2 9014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
381, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3938ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
40 eluzelz 9018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
411, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4241ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
43 eluzelz 9018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
4443ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ZZ )
45 eluzle 9021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  x )
4645ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  M  <_  x )
47 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  <_  N )
48 elfz4 9423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
4939, 42, 44, 46, 47, 48syl32anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
5036, 49ffvelrnd 5429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( F `  x )  e.  ( M ... N ) )
51 elfzuz 9426 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5250, 51syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( F `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5330, 35, 52rspcdva 2727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( G `  ( F `  x
) )  e.  S
)
54 fveq2 5299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
5554eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  M )  e.  S
) )
56 uzid 9023 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5738, 56syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5855, 9, 57rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  S )
5958ad2antrr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  ( G `  M )  e.  S )
6041adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
61 zdcle 8813 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  N )
6243, 60, 61syl2an2 561 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  x  <_  N )
6353, 59, 62ifcldadc 3418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
x  <_  N , 
( G `  ( F `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )
64 breq1 3846 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <_  N  <->  x  <_  N ) )
65 2fveq3 5304 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  ( F `  a ) )  =  ( G `  ( F `  x )
) )
6664, 65ifbieq1d 3411 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a ) ) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
6766, 22fvmptg 5374 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( x  <_  N , 
( G `  ( F `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  x
)  =  if ( x  <_  N , 
( G `  ( F `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )
6828, 63, 67syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  ( F `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) `  x )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
6968, 63eqeltrd 2164 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  ( F `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) `  x )  e.  S )
70 iseqf1o.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
711, 26, 27, 69, 70seq3fveq 9883 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N ) )
72 iseqf1o.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
73 iseqf1o.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
7466cbvmptv 3932 . . 3  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
7570, 72, 73, 1, 11, 8, 74seq3f1oleml 9920 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
)
7671, 75eqtrd 2120 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   ifcif 3391   class class class wbr 3843    |-> cmpt 3897   -->wf 5006   -1-1-onto->wf1o 5009   ` cfv 5010  (class class class)co 5644    <_ cle 7513   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009   ...cfz 9414    seqcseq 9840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-1o 6173  df-er 6282  df-en 6448  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-iseq 9841  df-seq3 9842
This theorem is referenced by:  isummolem3  10757
  Copyright terms: Public domain W3C validator