Theorem seq3f1o 10308

Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on ( M ... N ). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.h	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
iseqf1o.8	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1o	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, M, y, z   k, M   x, N, y, z   k, N   x, G, y, z   k, G   x, F, y, z   k, F   x, H, y, k   x, S, y, z   S, k   x, .+ , y, z   .+ , k   ph, x, y, z   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   H( z)

Proof of Theorem seq3f1o

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzle2 9839	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
3	2	iftrued 3486	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
5		elfzuz 9833	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
6		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` k ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
7	6	eleq1d 2209	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. S ) )
8		iseqf1o.7	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
9	8	ralrimiva 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
10	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
11		iseqf1o.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
12		f1of 5375	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
14	13	ffvelrnda 5563	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
15		elfzuz 9833	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` M ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` M ) )
17	7, 10, 16	rspcdva 2798	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. S )
18	4, 17	eqeltrd 2217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
19		breq1 3940	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a <_ N <-> k <_ N ) )
20		2fveq3 5434	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( G ` ( F ` a ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
21	19, 20	ifbieq1d 3499	. . . . . 6 |- ( a = k -> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
22		eqid 2140	. . . . . 6 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) )
23	21, 22	fvmptg 5505	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
24	5, 18, 23	syl2an2 584	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
25		iseqf1o.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
26	4, 24, 25	3eqtr4rd 2184	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) )
27		iseqf1o.h	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
28		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
29		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` x ) -> ( G ` b ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
30	29	eleq1d 2209	. . . . . . 7 |- ( b = ( F ` x ) -> ( ( G ` b ) e. S <-> ( G ` ( F ` x ) ) e. S ) )
31		fveq2 5429	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( G ` x ) = ( G ` b ) )
32	31	eleq1d 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` b ) e. S ) )
33	32	cbvralv 2657	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
34	9, 33	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
35	34	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
36	13	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
37		eluzel2 9355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
39	38	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> M e. ZZ )
40		eluzelz 9359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
41	1, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
43		eluzelz 9359	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
44	43	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ZZ )
45		eluzle 9362	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
46	45	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> M <_ x )
47		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
48		elfz4 9830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
49	39, 42, 44, 46, 47, 48	syl32anc 1225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
50	36, 49	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( F ` x ) e. ( M ... N ) )
51		elfzuz 9833	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> ( F ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( F ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
53	30, 35, 52	rspcdva 2798	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( F ` x ) ) e. S )
54		fveq2 5429	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
55	54	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
56		uzid 9364	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
57	38, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
58	55, 9, 57	rspcdva 2798	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` M ) e. S )
59	58	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
60	41	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
61		zdcle 9151	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
62	43, 60, 61	syl2an2 584	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
63	53, 59, 62	ifcldadc 3506	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
64		breq1 3940	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( a <_ N <-> x <_ N ) )
65		2fveq3 5434	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( G ` ( F ` a ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
66	64, 65	ifbieq1d 3499	. . . . . 6 |- ( a = x -> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
67	66, 22	fvmptg 5505	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
68	28, 63, 67	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
69	68, 63	eqeltrd 2217	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) e. S )
70		iseqf1o.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	1, 26, 27, 69, 70	seq3fveq 10275	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) )
72		iseqf1o.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
73		iseqf1o.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
74	66	cbvmptv 4032	. . 3 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
75	70, 72, 73, 1, 11, 8, 74	seq3f1oleml 10307	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
76	71, 75	eqtrd 2173	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   ifcif 3479   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   -->wf 5127   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  summodclem3  11181  prodmodclem3  11376