Theorem seq3f1o 10954

Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on ( M ... N ). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.h	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
iseqf1o.8	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1o	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, M, y, z   k, M   x, N, y, z   k, N   x, G, y, z   k, G   x, F, y, z   k, F   x, H, y, k   x, S, y, z   S, k   x, .+ , y, z   .+ , k   ph, x, y, z   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   H( z)

Proof of Theorem seq3f1o

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		elfzle2 10432	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
3	2	iftrued 3647	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
5		elfzuz 10424	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
6		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` k ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
7	6	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. S ) )
8		iseqf1o.7	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
9	8	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
11		iseqf1o.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
12		f1of 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
14	13	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
15		elfzuz 10424	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` M ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` M ) )
17	7, 10, 16	rspcdva 2934	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. S )
18	4, 17	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
19		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a <_ N <-> k <_ N ) )
20		2fveq3 5700	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( G ` ( F ` a ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
21	19, 20	ifbieq1d 3663	. . . . . 6 |- ( a = k -> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
22		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) )
23	21, 22	fvmptg 5781	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
24	5, 18, 23	syl2an2 602	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) = if ( k <_ N , ( G ` ( F ` k ) ) , ( G ` M ) ) )
25		iseqf1o.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
26	4, 24, 25	3eqtr4rd 2282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` k ) )
27		iseqf1o.h	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
28		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
29		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` x ) -> ( G ` b ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
30	29	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( b = ( F ` x ) -> ( ( G ` b ) e. S <-> ( G ` ( F ` x ) ) e. S ) )
31		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( G ` x ) = ( G ` b ) )
32	31	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` b ) e. S ) )
33	32	cbvralv 2786	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
34	9, 33	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
35	34	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. b e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` b ) e. S )
36	13	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
37		eluzel2 9926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
39	38	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> M e. ZZ )
40		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
41	1, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
43		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
44	43	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ZZ )
45		eluzle 9934	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
46	45	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> M <_ x )
47		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
48		elfz4 10421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
49	39, 42, 44, 46, 47, 48	syl32anc 1286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
50	36, 49	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( F ` x ) e. ( M ... N ) )
51		elfzuz 10424	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> ( F ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( F ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
53	30, 35, 52	rspcdva 2934	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( F ` x ) ) e. S )
54		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
55	54	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
56		uzid 9936	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
57	38, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
58	55, 9, 57	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` M ) e. S )
59	58	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
60	41	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
61		zdcle 9721	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
62	43, 60, 61	syl2an2 602	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
63	53, 59, 62	ifcldadc 3670	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
64		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( a <_ N <-> x <_ N ) )
65		2fveq3 5700	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( G ` ( F ` a ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
66	64, 65	ifbieq1d 3663	. . . . . 6 |- ( a = x -> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
67	66, 22	fvmptg 5781	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
68	28, 63, 67	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
69	68, 63	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ` x ) e. S )
70		iseqf1o.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	1, 26, 27, 69, 70	seq3fveq 10916	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) )
72		iseqf1o.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
73		iseqf1o.3	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
74	66	cbvmptv 4227	. . 3 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
75	70, 72, 73, 1, 11, 8, 74	seq3f1oleml 10953	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( a e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( a <_ N , ( G ` ( F ` a ) ) , ( G ` M ) ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
76	71, 75	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ifcif 3638   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   -->wf 5373   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  summodclem3  12147  prodmodclem3  12342