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Theorem seq3f1o 10447
Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on  ( M ... N
). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1o.h  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
iseqf1o.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1o  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, M, y, z    k, M    x, N, y, z    k, N   
x, G, y, z   
k, G    x, F, y, z    k, F    x, H, y, k    x, S, y, z    S, k   
x,  .+ , y, z    .+ , k    ph, x, y, z    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    H( z)

Proof of Theorem seq3f1o
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 elfzle2 9971 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  <_  N )
32iftrued 3532 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( F `  k ) ) ,  ( G `
 M ) )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
43adantl 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if (
k  <_  N , 
( G `  ( F `  k )
) ,  ( G `
 M ) )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
5 elfzuz 9964 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 fveq2 5494 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
76eleq1d 2239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  S
) )
8 iseqf1o.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
98ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
109adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  x
)  e.  S )
11 iseqf1o.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
12 f1of 5440 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
1413ffvelrnda 5628 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
15 elfzuz 9964 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1614, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
177, 10, 16rspcdva 2839 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  S
)
184, 17eqeltrd 2247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if (
k  <_  N , 
( G `  ( F `  k )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )
19 breq1 3990 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  (
a  <_  N  <->  k  <_  N ) )
20 2fveq3 5499 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  ( G `  ( F `  a ) )  =  ( G `  ( F `  k )
) )
2119, 20ifbieq1d 3547 . . . . . 6  |-  ( a  =  k  ->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a ) ) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( F `
 k ) ) ,  ( G `  M ) ) )
22 eqid 2170 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) )
2321, 22fvmptg 5570 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( F `  k ) ) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  k
)  =  if ( k  <_  N , 
( G `  ( F `  k )
) ,  ( G `
 M ) ) )
245, 18, 23syl2an2 589 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  ( F `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) `  k )  =  if ( k  <_  N ,  ( G `  ( F `
 k ) ) ,  ( G `  M ) ) )
25 iseqf1o.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
264, 24, 253eqtr4rd 2214 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( a  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a ) ) ,  ( G `
 M ) ) ) `  k ) )
27 iseqf1o.h . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
28 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
29 fveq2 5494 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  x )  ->  ( G `  b )  =  ( G `  ( F `  x ) ) )
3029eleq1d 2239 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  x )  ->  (
( G `  b
)  e.  S  <->  ( G `  ( F `  x
) )  e.  S
) )
31 fveq2 5494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  ( G `  x )  =  ( G `  b ) )
3231eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  b )  e.  S
) )
3332cbvralv 2696 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 x )  e.  S  <->  A. b  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  b )  e.  S )
349, 33sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. b  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  b )  e.  S )
3534ad2antrr 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  A. b  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  b
)  e.  S )
3613ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
37 eluzel2 9479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
381, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3938ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
40 eluzelz 9483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
411, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4241ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
43 eluzelz 9483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
4443ad2antlr 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ZZ )
45 eluzle 9486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  x )
4645ad2antlr 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  M  <_  x )
47 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  <_  N )
48 elfz4 9961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
4939, 42, 44, 46, 47, 48syl32anc 1241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
5036, 49ffvelrnd 5629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( F `  x )  e.  ( M ... N ) )
51 elfzuz 9964 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5250, 51syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( F `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5330, 35, 52rspcdva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( G `  ( F `  x
) )  e.  S
)
54 fveq2 5494 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
5554eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  M )  e.  S
) )
56 uzid 9488 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5738, 56syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5855, 9, 57rspcdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  S )
5958ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  ( G `  M )  e.  S )
6041adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
61 zdcle 9275 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  N )
6243, 60, 61syl2an2 589 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  x  <_  N )
6353, 59, 62ifcldadc 3554 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
x  <_  N , 
( G `  ( F `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )
64 breq1 3990 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <_  N  <->  x  <_  N ) )
65 2fveq3 5499 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  ( F `  a ) )  =  ( G `  ( F `  x )
) )
6664, 65ifbieq1d 3547 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a ) ) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
6766, 22fvmptg 5570 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( x  <_  N , 
( G `  ( F `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )  -> 
( ( a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `  a
) ) ,  ( G `  M ) ) ) `  x
)  =  if ( x  <_  N , 
( G `  ( F `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )
6828, 63, 67syl2anc 409 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  ( F `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) `  x )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
6968, 63eqeltrd 2247 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
a  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( a  <_  N , 
( G `  ( F `  a )
) ,  ( G `
 M ) ) ) `  x )  e.  S )
70 iseqf1o.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
711, 26, 27, 69, 70seq3fveq 10414 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N ) )
72 iseqf1o.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
73 iseqf1o.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
7466cbvmptv 4083 . . 3  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
7570, 72, 73, 1, 11, 8, 74seq3f1oleml 10446 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( a  <_  N ,  ( G `  ( F `
 a ) ) ,  ( G `  M ) ) ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
)
7671, 75eqtrd 2203 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 829    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   ifcif 3525   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048   -->wf 5192   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850    <_ cle 7942   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952    seqcseq 10388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-er 6509  df-en 6715  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389
This theorem is referenced by:  summodclem3  11330  prodmodclem3  11525
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