Theorem iseqf1olemqf 10890

Description: Lemma for seq3f1o 10903. Domain and codomain of 𝑄. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁   𝜑,𝑢

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqf.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁))
6	2, 4, 5	iseqf1olemqcl 10885	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)) ∈ (𝑀...𝑁))
7		iseqf1olemqf.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
8	6, 7	fmptd 5836	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ifcif 3624   ↦ cmpt 4176  ^◡ccnv 4753  ⟶wf 5353  –1-1-onto→wf1o 5356  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  1c1 8144   − cmin 8460  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10892  iseqf1olemqpcl  10895  seq3f1olemqsum  10899