Theorem iseqf1olemqf 10686

Description: Lemma for seq3f1o 10699. Domain and codomain of 𝑄. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁   𝜑,𝑢

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqf.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁))
6	2, 4, 5	iseqf1olemqcl 10681	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)) ∈ (𝑀...𝑁))
7		iseqf1olemqf.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
8	6, 7	fmptd 5757	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ifcif 3579   ↦ cmpt 4121  ^◡ccnv 4692  ⟶wf 5286  –1-1-onto→wf1o 5289  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  1c1 7961   − cmin 8278  ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10688  iseqf1olemqpcl  10691  seq3f1olemqsum  10695