ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqf GIF version

Theorem iseqf1olemqf 10488
Description: Lemma for seq3f1o 10501. Domain and codomain of 𝑄. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqf (𝜑𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁   𝜑,𝑢
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemqf
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemqf.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
21adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3 iseqf1olemqf.j . . . 4 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
43adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5 simpr 110 . . 3 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑀...𝑁))
62, 4, 5iseqf1olemqcl 10483 . 2 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)) ∈ (𝑀...𝑁))
7 iseqf1olemqf.q . 2 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
86, 7fmptd 5670 1 (𝜑𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  ifcif 3534  cmpt 4064  ccnv 4625  wf 5212  1-1-ontowf1o 5215  cfv 5216  (class class class)co 5874  1c1 7811  cmin 8126  ...cfz 10006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007
This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10490  iseqf1olemqpcl  10493  seq3f1olemqsum  10497
  Copyright terms: Public domain W3C validator