Theorem iseqf1olemqpcl 10770

Description: Lemma for seq3f1o 10778. A closure lemma involving Q and P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemjpcl.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemjpcl.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqpcl	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )

Distinct variable groups:   x, G, f   x, J, f   u, J   u, K   x, K   x, M, f   u, M   f, N, x   u, N   x, Q, f   x, S   ph, u   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( x, u, f)   Q( u)   S( u, f)   G( u)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemqpcl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3154	. . . 4 |- [_ Q / f ]_ P = [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemqf.q	. . . . . 6 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
4		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
5		elfzel1 10258	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		elfzel2 10257	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10692	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
10		mptexg 5878	. . . . . . 7 |- ( ( M ... N ) e. Fin -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
12	3, 11	eqeltrid 2318	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. _V )
13		nfcvd 2375	. . . . . 6 |- ( Q e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
14		fveq1 5638	. . . . . . . . 9 |- ( f = Q -> ( f ` x ) = ( Q ` x ) )
15	14	fveq2d 5643	. . . . . . . 8 |- ( f = Q -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( Q ` x ) ) )
16	15	ifeq1d 3623	. . . . . . 7 |- ( f = Q -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
17	16	mpteq2dv 4180	. . . . . 6 |- ( f = Q -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
18	13, 17	csbiegf 3171	. . . . 5 |- ( Q e. _V -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	12, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	2, 19	eqtrid 2276	. . 3 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( a = ( Q ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( Q ` x ) ) )
22	21	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( a = ( Q ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( Q ` x ) ) e. S ) )
23		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
24	23	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
25		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
26	25	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
27	26	cbvralv 2767	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
28	24, 27	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
29	28	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
30		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
31	4, 30, 3	iseqf1olemqf 10765	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
34		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
35	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
36		elfz5 10251	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
38	33, 37	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
39	32, 38	ffvelcdmd 5783	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( Q ` x ) e. ( M ... N ) )
40		elfzuz 10255	. . . . . 6 |- ( ( Q ` x ) e. ( M ... N ) -> ( Q ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( Q ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
42	22, 29, 41	rspcdva 2915	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( Q ` x ) ) e. S )
43		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
44	43	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
45	28	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
46	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
47		uzid 9769	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
49	44, 45, 48	rspcdva 2915	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
50		eluzelz 9764	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
51		zdcle 9555	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
52	50, 8, 51	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
53	42, 49, 52	ifcldadc 3635	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
54	20, 53	fvmpt2d 5733	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
55	54, 53	eqeltrd 2308	1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   [_csb 3127   ifcif 3605   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   `'ccnv 4724   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   1c1 8032   <_ cle 8214   - cmin 8349   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10772  seq3f1olemqsumk  10773  seq3f1olemqsum  10774