Theorem iseqf1olemqpcl 10875

Description: Lemma for seq3f1o 10883. A closure lemma involving Q and P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemjpcl.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemjpcl.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqpcl	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )

Distinct variable groups:   x, G, f   x, J, f   u, J   u, K   x, K   x, M, f   u, M   f, N, x   u, N   x, Q, f   x, S   ph, u   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( x, u, f)   Q( u)   S( u, f)   G( u)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemqpcl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3167	. . . 4 |- [_ Q / f ]_ P = [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemqf.q	. . . . . 6 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
4		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
5		elfzel1 10361	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		elfzel2 10360	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10797	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
10		mptexg 5913	. . . . . . 7 |- ( ( M ... N ) e. Fin -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
12	3, 11	eqeltrid 2321	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. _V )
13		nfcvd 2387	. . . . . 6 |- ( Q e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
14		fveq1 5671	. . . . . . . . 9 |- ( f = Q -> ( f ` x ) = ( Q ` x ) )
15	14	fveq2d 5676	. . . . . . . 8 |- ( f = Q -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( Q ` x ) ) )
16	15	ifeq1d 3642	. . . . . . 7 |- ( f = Q -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
17	16	mpteq2dv 4203	. . . . . 6 |- ( f = Q -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
18	13, 17	csbiegf 3184	. . . . 5 |- ( Q e. _V -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	12, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	2, 19	eqtrid 2279	. . 3 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( a = ( Q ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( Q ` x ) ) )
22	21	eleq1d 2303	. . . . 5 |- ( a = ( Q ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( Q ` x ) ) e. S ) )
23		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
24	23	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
25		fveq2 5672	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
26	25	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
27	26	cbvralv 2780	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
28	24, 27	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
29	28	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
30		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
31	4, 30, 3	iseqf1olemqf 10870	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
34		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
35	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
36		elfz5 10354	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
38	33, 37	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
39	32, 38	ffvelcdmd 5815	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( Q ` x ) e. ( M ... N ) )
40		elfzuz 10358	. . . . . 6 |- ( ( Q ` x ) e. ( M ... N ) -> ( Q ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( Q ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
42	22, 29, 41	rspcdva 2928	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( Q ` x ) ) e. S )
43		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
44	43	eleq1d 2303	. . . . 5 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
45	28	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
46	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
47		uzid 9871	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
49	44, 45, 48	rspcdva 2928	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
50		eluzelz 9866	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
51		zdcle 9656	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
52	50, 8, 51	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
53	42, 49, 52	ifcldadc 3654	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
54	20, 53	fvmpt2d 5766	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
55	54, 53	eqeltrd 2311	1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   [_csb 3140   ifcif 3622   class class class wbr 4111   |-> cmpt 4173   `'ccnv 4750   -->wf 5350   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Fincfn 6977   1c1 8130   <_ cle 8311   - cmin 8446   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10877  seq3f1olemqsumk  10878  seq3f1olemqsum  10879