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Theorem iseqf1olemqpcl 10269
Description: Lemma for seq3f1o 10277. A closure lemma involving  Q and  P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemjpcl.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemjpcl.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqpcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
Distinct variable groups:    x, G, f   
x, J, f    u, J    u, K    x, K    x, M, f    u, M   
f, N, x    u, N    x, Q, f    x, S    ph, u    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    P( x, u, f)    Q( u)    S( u, f)    G( u)    K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemqpcl
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemjpcl.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
21csbeq2i 3029 . . . 4  |-  [_ Q  /  f ]_ P  =  [_ Q  /  f ]_ ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
3 iseqf1olemqf.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
4 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
5 elfzel1 9805 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
64, 5syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 elfzel2 9804 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
84, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
96, 8fzfigd 10204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
10 mptexg 5645 . . . . . . 7  |-  ( ( M ... N )  e.  Fin  ->  (
u  e.  ( M ... N )  |->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  e. 
_V )
119, 10syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )  e. 
_V )
123, 11eqeltrid 2226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
13 nfcvd 2282 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  _V  ->  F/_ f
( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( Q `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) ) )
14 fveq1 5420 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  Q  ->  (
f `  x )  =  ( Q `  x ) )
1514fveq2d 5425 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  Q  ->  ( G `  ( f `  x ) )  =  ( G `  ( Q `  x )
) )
1615ifeq1d 3489 . . . . . . 7  |-  ( f  =  Q  ->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( Q `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
1716mpteq2dv 4019 . . . . . 6  |-  ( f  =  Q  ->  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( Q `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
1813, 17csbiegf 3043 . . . . 5  |-  ( Q  e.  _V  ->  [_ Q  /  f ]_ (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( Q `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
1912, 18syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  [_ Q  /  f ]_ ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( Q `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) ) )
202, 19syl5eq 2184 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ Q  /  f ]_ P  =  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( Q `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) ) )
21 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Q `  x )  ->  ( G `  a )  =  ( G `  ( Q `  x ) ) )
2221eleq1d 2208 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Q `  x )  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  ( Q `  x
) )  e.  S
) )
23 iseqf1olemjpcl.g . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
2423ralrimiva 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
25 fveq2 5421 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( G `  x )  =  ( G `  a ) )
2625eleq1d 2208 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  a )  e.  S
) )
2726cbvralv 2654 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 x )  e.  S  <->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  a )  e.  S )
2824, 27sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  a )  e.  S )
2928ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  a
)  e.  S )
30 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
314, 30, 3iseqf1olemqf 10264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
3231ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  Q :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
33 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  <_  N )
34 simplr 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
358ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
36 elfz5 9798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  x  <_  N ) )
3734, 35, 36syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  x  <_  N ) )
3833, 37mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
3932, 38ffvelrnd 5556 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( Q `  x )  e.  ( M ... N ) )
40 elfzuz 9802 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  x )  e.  ( M ... N )  ->  ( Q `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4139, 40syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( Q `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
4222, 29, 41rspcdva 2794 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( G `  ( Q `  x
) )  e.  S
)
43 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( G `  a )  =  ( G `  M ) )
4443eleq1d 2208 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  M )  e.  S
) )
4528ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  a
)  e.  S )
466ad2antrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
47 uzid 9340 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4846, 47syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4944, 45, 48rspcdva 2794 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  ( G `  M )  e.  S )
50 eluzelz 9335 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
51 zdcle 9127 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  N )
5250, 8, 51syl2anr 288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  x  <_  N )
5342, 49, 52ifcldadc 3501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
x  <_  N , 
( G `  ( Q `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )
5420, 53fvmpt2d 5507 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( Q `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
5554, 53eqeltrd 2216 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ Q  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 819    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   [_csb 3003   ifcif 3474   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   1c1 7621    <_ cle 7801    - cmin 7933   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10271  seq3f1olemqsumk  10272  seq3f1olemqsum  10273
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