Theorem iseqf1olemqpcl 10580

Description: Lemma for seq3f1o 10588. A closure lemma involving Q and P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemjpcl.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemjpcl.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqpcl	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )

Distinct variable groups:   x, G, f   x, J, f   u, J   u, K   x, K   x, M, f   u, M   f, N, x   u, N   x, Q, f   x, S   ph, u   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( x, u, f)   Q( u)   S( u, f)   G( u)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemqpcl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3107	. . . 4 |- [_ Q / f ]_ P = [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemqf.q	. . . . . 6 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
4		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
5		elfzel1 10090	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		elfzel2 10089	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10502	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
10		mptexg 5783	. . . . . . 7 |- ( ( M ... N ) e. Fin -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) ) e. _V )
12	3, 11	eqeltrid 2280	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. _V )
13		nfcvd 2337	. . . . . 6 |- ( Q e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
14		fveq1 5553	. . . . . . . . 9 |- ( f = Q -> ( f ` x ) = ( Q ` x ) )
15	14	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( f = Q -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( Q ` x ) ) )
16	15	ifeq1d 3574	. . . . . . 7 |- ( f = Q -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
17	16	mpteq2dv 4120	. . . . . 6 |- ( f = Q -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
18	13, 17	csbiegf 3124	. . . . 5 |- ( Q e. _V -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	12, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	2, 19	eqtrid 2238	. . 3 |- ( ph -> [_ Q / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( a = ( Q ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( Q ` x ) ) )
22	21	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( a = ( Q ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( Q ` x ) ) e. S ) )
23		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
24	23	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
25		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
26	25	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
27	26	cbvralv 2726	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
28	24, 27	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
29	28	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
30		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
31	4, 30, 3	iseqf1olemqf 10575	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> Q : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
33		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
34		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
35	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
36		elfz5 10083	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
38	33, 37	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
39	32, 38	ffvelcdmd 5694	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( Q ` x ) e. ( M ... N ) )
40		elfzuz 10087	. . . . . 6 |- ( ( Q ` x ) e. ( M ... N ) -> ( Q ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( Q ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
42	22, 29, 41	rspcdva 2869	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( Q ` x ) ) e. S )
43		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
44	43	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
45	28	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
46	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
47		uzid 9606	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
49	44, 45, 48	rspcdva 2869	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
50		eluzelz 9601	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
51		zdcle 9393	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
52	50, 8, 51	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
53	42, 49, 52	ifcldadc 3586	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
54	20, 53	fvmpt2d 5644	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( Q ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
55	54, 53	eqeltrd 2270	1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ Q / f ]_ P ` x ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   [_csb 3080   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   `'ccnv 4658   -->wf 5250   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   1c1 7873   <_ cle 8055   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsumk  10583  seq3f1olemqsum  10584