Theorem isrhmd 14151

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhmd.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
isrhmd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
isrhmd.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑆)
isrhmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
isrhmd.hp	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isrhmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isrhmd.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		isrhmd.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
4		isrhmd.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		isrhmd.u	. 2 ⊢ × = (.r‘𝑆)
6		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
8		isrhmd.ho	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
9		isrhmd.ht	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
10		isrhmd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
11		isrhmd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		isrhmd.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑆)
13		ringgrp 13985	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	6, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		ringgrp 13985	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
16	7, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
17		isrhmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
18		isrhmd.hp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
19	1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18	isghmd 13810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	isrhm2d 14150	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  ._rcmulr 13132  Grpcgrp 13554  1_rcur 13943  Ringcrg 13980   RingHom crh 14135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-mhm 13513  df-grp 13557  df-ghm 13799  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-ring 13982  df-rhm 14137

This theorem is referenced by: (None)