Theorem rhm1 14200

Description: Ring homomorphisms are required to fix 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhm1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
rhm1.n	|- N = ( 1r ` S )

Assertion

Ref	Expression
rhm1	|- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( F ` .1. ) = N )

Proof of Theorem rhm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2		eqid 2231	. . . 4 |- (mulGrp ` S ) = (mulGrp ` S )
3	1, 2	rhmmhm 14192	. . 3 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F e. ( (mulGrp ` R ) MndHom (mulGrp ` S ) ) )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
5		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` (mulGrp ` S ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` S ) )
6	4, 5	mhm0 13569	. . 3 |- ( F e. ( (mulGrp ` R ) MndHom (mulGrp ` S ) ) -> ( F ` ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` S ) ) )
7	3, 6	syl 14	. 2 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( F ` ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` S ) ) )
8		rhmrcl1 14188	. . 3 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring )
9		rhm1.o	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
10	1, 9	ringidvalg 13993	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
11	10	fveq2d 5643	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( F ` .1. ) = ( F ` ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) ) )
12	8, 11	syl 14	. 2 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( F ` .1. ) = ( F ` ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) ) )
13		rhmrcl2 14189	. . 3 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring )
14		rhm1.n	. . . 4 |- N = ( 1r ` S )
15	2, 14	ringidvalg 13993	. . 3 |- ( S e. Ring -> N = ( 0g ` (mulGrp ` S ) ) )
16	13, 15	syl 14	. 2 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> N = ( 0g ` (mulGrp ` S ) ) )
17	7, 12, 16	3eqtr4d 2274	1 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( F ` .1. ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   0gc0g 13357   MndHom cmhm 13558  mulGrpcmgp 13952   1rcur 13991   Ringcrg 14028   RingHom crh 14183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-mhm 13560  df-grp 13604  df-ghm 13846  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-ring 14030  df-rhm 14185

This theorem is referenced by:  rhmopp  14209  elrhmunit  14210  rhmunitinv  14211  mulgrhm2  14643  zrh1  14657