ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lediv12a Unicode version
Theorem lediv12a 9002
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplrr 536 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A <_ B )
2 simprrr 540 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C <_ D )
3 simprll 537 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C e. RR )
4 simprrl 539 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < C )
5 simprlr 538 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D e. RR )
6 0red 8108 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 e. RR )
76, 3, 5, 4, 2ltletrd 8531 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < D )
8 lerec 8992 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 < C ) /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( C <_ D <-> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) )
93, 4, 5, 7, 8syl22anc 1251 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( C <_ D <-> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) )
102, 9mpbid 147 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) )
11 simplll 533 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A e. RR )
12 simplrl 535 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 <_ A )
1311, 12jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
14 simpllr 534 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> B e. RR )
155, 7gt0ap0d 8737 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D # 0 )
165, 15rerecclapd 8942 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / D ) e. RR )
17 recgt0 8958 . . . . . . 7 |- ( ( D e. RR /\ 0 < D ) -> 0 < ( 1 / D ) )
185, 7, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < ( 1 / D ) )
196, 16, 18ltled 8226 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / D ) )
2016, 19jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( ( 1 / D ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / D ) ) )
213, 4gt0ap0d 8737 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C # 0 )
223, 21rerecclapd 8942 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / C ) e. RR )
23 lemul12a 8970 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( ( 1 / D ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / D ) ) /\ ( 1 / C ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
2413, 14, 20, 22, 23syl22anc 1251 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
251, 10, 24mp2and 433 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) )
2611recnd 8136 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A e. CC )
275recnd 8136 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D e. CC )
2826, 27, 15divrecapd 8901 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) = ( A x. ( 1 / D ) ) )
2914recnd 8136 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> B e. CC )
303recnd 8136 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C e. CC )
3129, 30, 21divrecapd 8901 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( B / C ) = ( B x. ( 1 / C ) ) )
3225, 28, 313brtr4d 4091 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   / cdiv 8780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781
This theorem is referenced by:  lediv2a  9003  lediv12ad  9913
  Copyright terms: Public domain W3C validator