ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lediv12a Unicode version
Theorem lediv12a 9168
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplrr 538 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A <_ B )
2 simprrr 542 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C <_ D )
3 simprll 539 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C e. RR )
4 simprrl 541 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < C )
5 simprlr 540 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D e. RR )
6 0red 8275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 e. RR )
76, 3, 5, 4, 2ltletrd 8697 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < D )
8 lerec 9158 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 < C ) /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( C <_ D <-> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) )
93, 4, 5, 7, 8syl22anc 1275 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( C <_ D <-> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) )
102, 9mpbid 147 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) )
11 simplll 535 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A e. RR )
12 simplrl 537 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 <_ A )
1311, 12jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
14 simpllr 536 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> B e. RR )
155, 7gt0ap0d 8903 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D # 0 )
165, 15rerecclapd 9108 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / D ) e. RR )
17 recgt0 9124 . . . . . . 7 |- ( ( D e. RR /\ 0 < D ) -> 0 < ( 1 / D ) )
185, 7, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < ( 1 / D ) )
196, 16, 18ltled 8392 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / D ) )
2016, 19jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( ( 1 / D ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / D ) ) )
213, 4gt0ap0d 8903 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C # 0 )
223, 21rerecclapd 9108 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / C ) e. RR )
23 lemul12a 9136 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( ( 1 / D ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / D ) ) /\ ( 1 / C ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
2413, 14, 20, 22, 23syl22anc 1275 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
251, 10, 24mp2and 433 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) )
2611recnd 8302 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A e. CC )
275recnd 8302 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D e. CC )
2826, 27, 15divrecapd 9067 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) = ( A x. ( 1 / D ) ) )
2914recnd 8302 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> B e. CC )
303recnd 8302 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C e. CC )
3129, 30, 21divrecapd 9067 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( B / C ) = ( B x. ( 1 / C ) ) )
3225, 28, 313brtr4d 4141 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   < clt 8308   <_ cle 8309   / cdiv 8946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947
This theorem is referenced by:  lediv2a  9169  lediv12ad  10089
  Copyright terms: Public domain W3C validator