ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lediv12a Unicode version
Theorem lediv12a 8409
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplrr 504 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A <_ B )
2 simprrr 508 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C <_ D )
3 simprll 505 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C e. RR )
4 simprrl 507 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < C )
5 simprlr 506 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D e. RR )
6 0red 7543 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 e. RR )
76, 3, 5, 4, 2ltletrd 7955 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < D )
8 lerec 8399 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 < C ) /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( C <_ D <-> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) )
93, 4, 5, 7, 8syl22anc 1176 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( C <_ D <-> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) )
102, 9mpbid 146 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) )
11 simplll 501 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A e. RR )
12 simplrl 503 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 <_ A )
1311, 12jca 301 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
14 simpllr 502 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> B e. RR )
155, 7gt0ap0d 8159 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D # 0 )
165, 15rerecclapd 8354 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / D ) e. RR )
17 recgt0 8365 . . . . . . 7 |- ( ( D e. RR /\ 0 < D ) -> 0 < ( 1 / D ) )
185, 7, 17syl2anc 404 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < ( 1 / D ) )
196, 16, 18ltled 7656 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / D ) )
2016, 19jca 301 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( ( 1 / D ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / D ) ) )
213, 4gt0ap0d 8159 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C # 0 )
223, 21rerecclapd 8354 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / C ) e. RR )
23 lemul12a 8377 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( ( 1 / D ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / D ) ) /\ ( 1 / C ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
2413, 14, 20, 22, 23syl22anc 1176 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
251, 10, 24mp2and 425 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) )
2611recnd 7570 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A e. CC )
275recnd 7570 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D e. CC )
2826, 27, 15divrecapd 8314 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) = ( A x. ( 1 / D ) ) )
2914recnd 7570 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> B e. CC )
303recnd 7570 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C e. CC )
3129, 30, 21divrecapd 8314 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( B / C ) = ( B x. ( 1 / C ) ) )
3225, 28, 313brtr4d 3881 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7403   0cc0 7404   1c1 7405   x. cmul 7409   < clt 7576   <_ cle 7577   / cdiv 8193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194
This theorem is referenced by:  lediv2a  8410  lediv12ad  9287
  Copyright terms: Public domain W3C validator