ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lediv12a Unicode version
Theorem lediv12a 8765
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplrr 526 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A <_ B )
2 simprrr 530 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C <_ D )
3 simprll 527 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C e. RR )
4 simprrl 529 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < C )
5 simprlr 528 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D e. RR )
6 0red 7879 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 e. RR )
76, 3, 5, 4, 2ltletrd 8298 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < D )
8 lerec 8755 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 < C ) /\ ( D e. RR /\ 0 < D ) ) -> ( C <_ D <-> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) )
93, 4, 5, 7, 8syl22anc 1221 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( C <_ D <-> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) )
102, 9mpbid 146 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) )
11 simplll 523 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A e. RR )
12 simplrl 525 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 <_ A )
1311, 12jca 304 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
14 simpllr 524 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> B e. RR )
155, 7gt0ap0d 8504 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D # 0 )
165, 15rerecclapd 8706 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / D ) e. RR )
17 recgt0 8721 . . . . . . 7 |- ( ( D e. RR /\ 0 < D ) -> 0 < ( 1 / D ) )
185, 7, 17syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 < ( 1 / D ) )
196, 16, 18ltled 7994 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / D ) )
2016, 19jca 304 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( ( 1 / D ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / D ) ) )
213, 4gt0ap0d 8504 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C # 0 )
223, 21rerecclapd 8706 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( 1 / C ) e. RR )
23 lemul12a 8733 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( ( ( 1 / D ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / D ) ) /\ ( 1 / C ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
2413, 14, 20, 22, 23syl22anc 1221 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ ( 1 / D ) <_ ( 1 / C ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
251, 10, 24mp2and 430 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A x. ( 1 / D ) ) <_ ( B x. ( 1 / C ) ) )
2611recnd 7906 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> A e. CC )
275recnd 7906 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> D e. CC )
2826, 27, 15divrecapd 8666 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) = ( A x. ( 1 / D ) ) )
2914recnd 7906 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> B e. CC )
303recnd 7906 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> C e. CC )
3129, 30, 21divrecapd 8666 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( B / C ) = ( B x. ( 1 / C ) ) )
3225, 28, 313brtr4d 3996 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733   x. cmul 7737   < clt 7912   <_ cle 7913   / cdiv 8545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546
This theorem is referenced by:  lediv2a  8766  lediv12ad  9663
  Copyright terms: Public domain W3C validator