Theorem lerec2 8846

Description: Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lerec2	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> B <_ ( 1 / A ) ) )

Proof of Theorem lerec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
2		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> B e. RR )
3		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < B )
4	2, 3	gt0ap0d 8586	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> B # 0 )
5	2, 4	rerecclapd 8791	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 / B ) e. RR )
6		recgt0 8807	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 < B ) -> 0 < ( 1 / B ) )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( 1 / B ) )
8		lerec 8841	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( ( 1 / B ) e. RR /\ 0 < ( 1 / B ) ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> ( 1 / ( 1 / B ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
9	1, 5, 7, 8	syl12anc 1236	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> ( 1 / ( 1 / B ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
10	2	recnd 7986	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> B e. CC )
11	10, 4	recrecapd 8742	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 / ( 1 / B ) ) = B )
12	11	breq1d 4014	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( 1 / ( 1 / B ) ) <_ ( 1 / A ) <-> B <_ ( 1 / A ) ) )
13	9, 12	bitrd 188	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> B <_ ( 1 / A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   < clt 7992   <_ cle 7993   / cdiv 8629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630

This theorem is referenced by:  lerec2d  9718