Theorem lerec2 8844

Description: Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lerec2	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> B <_ ( 1 / A ) ) )

Proof of Theorem lerec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
2		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> B e. RR )
3		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < B )
4	2, 3	gt0ap0d 8584	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> B # 0 )
5	2, 4	rerecclapd 8789	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 / B ) e. RR )
6		recgt0 8805	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 < B ) -> 0 < ( 1 / B ) )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( 1 / B ) )
8		lerec 8839	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( ( 1 / B ) e. RR /\ 0 < ( 1 / B ) ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> ( 1 / ( 1 / B ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
9	1, 5, 7, 8	syl12anc 1236	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> ( 1 / ( 1 / B ) ) <_ ( 1 / A ) ) )
10	2	recnd 7984	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> B e. CC )
11	10, 4	recrecapd 8740	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 / ( 1 / B ) ) = B )
12	11	breq1d 4013	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( 1 / ( 1 / B ) ) <_ ( 1 / A ) <-> B <_ ( 1 / A ) ) )
13	9, 12	bitrd 188	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> B <_ ( 1 / A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   < clt 7990   <_ cle 7991   / cdiv 8627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628

This theorem is referenced by:  lerec2d  9716