Theorem lesub1dd 8671

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
leadd1dd.4	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	|- ( ph -> ( A - C ) <_ ( B - C ) )

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	lesub1d 8662	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> ( A - C ) <_ ( B - C ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( ph -> ( A - C ) <_ ( B - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4060  (class class class)co 5969   RRcr 7961   <_ cle 8145   - cmin 8280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283

This theorem is referenced by:  elfzmlbm  10290  modqmulnn  10526  seq3shft  11310  resqrexlemcalc2  11487  icodiamlt  11652  bdtri  11712  climsqz2  11808  bitsinv1lem  12433  hashdvds  12704  4sqlem6  12867  oddennn  12924