Theorem 4sqlem6 12395

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	|- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7972	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		zq 9640	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. QQ )
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
6	5	nnzd 9388	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		2nn 9094	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		znq 9638	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. QQ )
10		qaddcl 9649	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
12		nnq 9647	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
14	5	nngt0d 8977	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
15	11, 13, 14	modqcld 10342	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
16		qre 9639	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
18	5	nnred 8946	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
19	18	rehalfcld 9179	. . . 4 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
20		modqge0 10346	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1248	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8532	. . 3 |- ( ph -> ( 0 - ( M / 2 ) ) <_ ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) )
23		df-neg 8145	. . 3 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
24		4sqlem5.4	. . 3 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
25	22, 23, 24	3brtr4g 4049	. 2 |- ( ph -> -u ( M / 2 ) <_ B )
26		modqlt 10347	. . . . . 6 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1248	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
28	5	nncnd 8947	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
29	28	2halvesd 9178	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
30	27, 29	breqtrrd 4043	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) )
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8512	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) )
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) )
33	24, 32	eqbrtrid 4050	. 2 |- ( ph -> B < ( M / 2 ) )
34	25, 33	jca 306	1 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7824   0cc0 7825   + caddc 7828   < clt 8006   <_ cle 8007   - cmin 8142   -ucneg 8143   / cdiv 8643   NNcn 8933   2c2 8984   ZZcz 9267   QQcq 9633   mod cmo 10336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-q 9634  df-rp 9668  df-fl 10284  df-mod 10337

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12396  4sqlem10  12399