Theorem 4sqlem6 12524

Description: Lemma for 4sq 12551. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	|- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8022	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		zq 9694	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. QQ )
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
6	5	nnzd 9441	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		2nn 9146	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		znq 9692	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. QQ )
10		qaddcl 9703	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
12		nnq 9701	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
14	5	nngt0d 9028	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
15	11, 13, 14	modqcld 10402	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
16		qre 9693	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
18	5	nnred 8997	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
19	18	rehalfcld 9232	. . . 4 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
20		modqge0 10406	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8582	. . 3 |- ( ph -> ( 0 - ( M / 2 ) ) <_ ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) )
23		df-neg 8195	. . 3 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
24		4sqlem5.4	. . 3 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
25	22, 23, 24	3brtr4g 4064	. 2 |- ( ph -> -u ( M / 2 ) <_ B )
26		modqlt 10407	. . . . . 6 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
28	5	nncnd 8998	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
29	28	2halvesd 9231	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
30	27, 29	breqtrrd 4058	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) )
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8562	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) )
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) )
33	24, 32	eqbrtrid 4065	. 2 |- ( ph -> B < ( M / 2 ) )
34	25, 33	jca 306	1 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   + caddc 7877   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   -ucneg 8193   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   ZZcz 9320   QQcq 9687   mod cmo 10396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342  df-mod 10397

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12525  4sqlem10  12528