Theorem 4sqlem6 13036

Description: Lemma for 4sq 13063. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	|- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8240	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		zq 9921	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. QQ )
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
6	5	nnzd 9662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		2nn 9364	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		znq 9919	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. QQ )
10		qaddcl 9930	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
12		nnq 9928	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
14	5	nngt0d 9246	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
15	11, 13, 14	modqcld 10653	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
16		qre 9920	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
18	5	nnred 9215	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
19	18	rehalfcld 9450	. . . 4 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
20		modqge0 10657	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8800	. . 3 |- ( ph -> ( 0 - ( M / 2 ) ) <_ ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) )
23		df-neg 8412	. . 3 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
24		4sqlem5.4	. . 3 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
25	22, 23, 24	3brtr4g 4127	. 2 |- ( ph -> -u ( M / 2 ) <_ B )
26		modqlt 10658	. . . . . 6 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
28	5	nncnd 9216	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
29	28	2halvesd 9449	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
30	27, 29	breqtrrd 4121	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) )
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8780	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) )
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) )
33	24, 32	eqbrtrid 4128	. 2 |- ( ph -> B < ( M / 2 ) )
34	25, 33	jca 306	1 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   + caddc 8095   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   -ucneg 8410   / cdiv 8911   NNcn 9202   2c2 9253   ZZcz 9540   QQcq 9914   mod cmo 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-q 9915  df-rp 9950  df-fl 10593  df-mod 10648

This theorem is referenced by:  4sqlem7  13037  4sqlem10  13040