ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4sqlem6 Unicode version

Theorem 4sqlem6 12324
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem6  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6
StepHypRef Expression
1 0red 7910 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2 4sqlem5.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 zq 9574 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
42, 3syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
5 4sqlem5.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
65nnzd 9322 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 2nn 9028 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
8 znq 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( M  /  2
)  e.  QQ )
96, 7, 8sylancl 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  QQ )
10 qaddcl 9583 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( M  /  2
)  e.  QQ )  ->  ( A  +  ( M  /  2
) )  e.  QQ )
114, 9, 10syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  QQ )
12 nnq 9581 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
135, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
145nngt0d 8911 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  M )
1511, 13, 14modqcld 10273 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  QQ )
16 qre 9573 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  e.  QQ  ->  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  e.  RR )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
185nnred 8880 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1918rehalfcld 9113 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
20 modqge0 10277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  QQ  /\  M  e.  QQ  /\  0  <  M )  ->  0  <_  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
) )
2111, 13, 14, 20syl3anc 1233 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M ) )
221, 17, 19, 21lesub1dd 8469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  -  ( M  /  2 ) )  <_  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) )
23 df-neg 8082 . . 3  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
24 4sqlem5.4 . . 3  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2522, 23, 243brtr4g 4021 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
2 )  <_  B
)
26 modqlt 10278 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  QQ  /\  M  e.  QQ  /\  0  <  M )  ->  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  <  M )
2711, 13, 14, 26syl3anc 1233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  M )
285nncnd 8881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
29282halvesd 9112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
3027, 29breqtrrd 4015 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  ( ( M  /  2 )  +  ( M  /  2
) ) )
3117, 19, 19ltsubaddd 8449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) )  <  ( M  /  2 )  <->  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  < 
( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) ) ) )
3230, 31mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  <  ( M  / 
2 ) )
3324, 32eqbrtrid 4022 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
3425, 33jca 304 1  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7762   0cc0 7763    + caddc 7766    < clt 7943    <_ cle 7944    - cmin 8079   -ucneg 8080    / cdiv 8578   NNcn 8867   2c2 8918   ZZcz 9201   QQcq 9567    mod cmo 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-n0 9125  df-z 9202  df-q 9568  df-rp 9600  df-fl 10215  df-mod 10268
This theorem is referenced by:  4sqlem7  12325  4sqlem10  12328
  Copyright terms: Public domain W3C validator