Theorem 4sqlem6 12364

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	|- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7949	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		zq 9615	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. QQ )
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
6	5	nnzd 9363	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		2nn 9069	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		znq 9613	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. QQ )
10		qaddcl 9624	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
12		nnq 9622	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
14	5	nngt0d 8952	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
15	11, 13, 14	modqcld 10314	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
16		qre 9614	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
18	5	nnred 8921	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
19	18	rehalfcld 9154	. . . 4 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
20		modqge0 10318	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8508	. . 3 |- ( ph -> ( 0 - ( M / 2 ) ) <_ ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) )
23		df-neg 8121	. . 3 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
24		4sqlem5.4	. . 3 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
25	22, 23, 24	3brtr4g 4034	. 2 |- ( ph -> -u ( M / 2 ) <_ B )
26		modqlt 10319	. . . . . 6 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
28	5	nncnd 8922	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
29	28	2halvesd 9153	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
30	27, 29	breqtrrd 4028	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) )
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8488	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) )
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) )
33	24, 32	eqbrtrid 4035	. 2 |- ( ph -> B < ( M / 2 ) )
34	25, 33	jca 306	1 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   0cc0 7802   + caddc 7805   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   -ucneg 8119   / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   ZZcz 9242   QQcq 9608   mod cmo 10308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12365  4sqlem10  12368