Theorem 4sqlem6 13081

Description: Lemma for 4sq 13108. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	|- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8275	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		zq 9958	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. QQ )
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
6	5	nnzd 9699	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		2nn 9399	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		znq 9956	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. QQ )
10		qaddcl 9967	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
12		nnq 9965	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
14	5	nngt0d 9281	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
15	11, 13, 14	modqcld 10690	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
16		qre 9957	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. RR )
18	5	nnred 9250	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
19	18	rehalfcld 9485	. . . 4 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. RR )
20		modqge0 10694	. . . . 5 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) )
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8835	. . 3 |- ( ph -> ( 0 - ( M / 2 ) ) <_ ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) )
23		df-neg 8447	. . 3 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
24		4sqlem5.4	. . 3 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
25	22, 23, 24	3brtr4g 4143	. 2 |- ( ph -> -u ( M / 2 ) <_ B )
26		modqlt 10695	. . . . . 6 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < M )
28	5	nncnd 9251	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
29	28	2halvesd 9484	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
30	27, 29	breqtrrd 4137	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) )
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8815	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) < ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) )
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) < ( M / 2 ) )
33	24, 32	eqbrtrid 4144	. 2 |- ( ph -> B < ( M / 2 ) )
34	25, 33	jca 306	1 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   + caddc 8130   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   -ucneg 8445   / cdiv 8946   NNcn 9237   2c2 9288   ZZcz 9577   QQcq 9951   mod cmo 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630  df-mod 10685

This theorem is referenced by:  4sqlem7  13082  4sqlem10  13085