ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icodiamlt Unicode version

Theorem icodiamlt 10983
Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodiamlt  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  < 
( B  -  A
) )

Proof of Theorem icodiamlt
StepHypRef Expression
1 rexr 7834 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
2 elico2 9749 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( C  e.  ( A [,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B ) ) )
3 elico2 9749 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( D  e.  ( A [,) B )  <-> 
( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  <  B ) ) )
42, 3anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  <->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
54biimpd 143 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
61, 5sylan2 284 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
7 simplr 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  B  e.  RR )
87recnd 7817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  B  e.  CC )
9 simpll 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  e.  RR )
109recnd 7817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  e.  CC )
118, 10negsubdi2d 8112 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  -u ( B  -  A )  =  ( A  -  B ) )
129, 7resubcld 8166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
13 simprl1 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  C  e.  RR )
1413, 7resubcld 8166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
15 simprr1 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  D  e.  RR )
1613, 15resubcld 8166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  e.  RR )
17 simprl2 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  <_  C
)
189, 13, 7, 17lesub1dd 8346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  <_  ( C  -  B )
)
19 simprr3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  D  <  B
)
2015, 7, 13, 19ltsub2dd 8343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  B )  <  ( C  -  D )
)
2112, 14, 16, 18, 20lelttrd 7910 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  <  ( C  -  D )
)
2211, 21eqbrtrd 3957 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  -u ( B  -  A )  <  ( C  -  D )
)
237, 15resubcld 8166 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  D )  e.  RR )
247, 9resubcld 8166 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
25 simprl3 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  C  <  B
)
2613, 7, 15, 25ltsub1dd 8342 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  <  ( B  -  D )
)
27 simprr2 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  <_  D
)
289, 15, 7, 27lesub2dd 8347 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  D )  <_  ( B  -  A )
)
2916, 23, 24, 26, 28ltletrd 8208 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  <  ( B  -  A )
)
3016, 24absltd 10977 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( ( abs `  ( C  -  D
) )  <  ( B  -  A )  <->  (
-u ( B  -  A )  <  ( C  -  D )  /\  ( C  -  D
)  <  ( B  -  A ) ) ) )
3122, 29, 30mpbir2and 929 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  ( B  -  A ) )
3231ex 114 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) )  -> 
( abs `  ( C  -  D )
)  <  ( B  -  A ) ) )
336, 32syld 45 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  ( B  -  A )
) )
3433imp 123 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  < 
( B  -  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    e. wcel 1481   class class class wbr 3936   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   RRcr 7642   RR*cxr 7822    < clt 7823    <_ cle 7824    - cmin 7956   -ucneg 7957   [,)cico 9702   abscabs 10800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-ico 9706  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator