Theorem icodiamlt 10792

Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodiamlt	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )

Proof of Theorem icodiamlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7683	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
2		elico2 9561	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
3		elico2 9561	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( D e. ( A [,) B ) <-> ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) )
4	2, 3	anbi12d 460	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) <-> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
5	4	biimpd 143	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
6	1, 5	sylan2 282	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
7		simplr 500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> B e. RR )
8	7	recnd 7666	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> B e. CC )
9		simpll 499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A e. RR )
10	9	recnd 7666	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A e. CC )
11	8, 10	negsubdi2d 7960	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> -u ( B - A ) = ( A - B ) )
12	9, 7	resubcld 8010	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) e. RR )
13		simprl1 994	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> C e. RR )
14	13, 7	resubcld 8010	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - B ) e. RR )
15		simprr1 997	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> D e. RR )
16	13, 15	resubcld 8010	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) e. RR )
17		simprl2 995	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A <_ C )
18	9, 13, 7, 17	lesub1dd 8189	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) <_ ( C - B ) )
19		simprr3 999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> D < B )
20	15, 7, 13, 19	ltsub2dd 8186	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - B ) < ( C - D ) )
21	12, 14, 16, 18, 20	lelttrd 7758	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) < ( C - D ) )
22	11, 21	eqbrtrd 3895	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> -u ( B - A ) < ( C - D ) )
23	7, 15	resubcld 8010	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - D ) e. RR )
24	7, 9	resubcld 8010	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - A ) e. RR )
25		simprl3 996	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> C < B )
26	13, 7, 15, 25	ltsub1dd 8185	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) < ( B - D ) )
27		simprr2 998	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A <_ D )
28	9, 15, 7, 27	lesub2dd 8190	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - D ) <_ ( B - A ) )
29	16, 23, 24, 26, 28	ltletrd 8052	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) < ( B - A ) )
30	16, 24	absltd 10786	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) <-> ( -u ( B - A ) < ( C - D ) /\ ( C - D ) < ( B - A ) ) ) )
31	22, 29, 30	mpbir2and 896	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )
32	31	ex 114	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) ) )
33	6, 32	syld 45	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) ) )
34	33	imp 123	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 930   e. wcel 1448   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   RRcr 7499   RR*cxr 7671   < clt 7672   <_ cle 7673   - cmin 7804   -ucneg 7805   [,)cico 9514   abscabs 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-ico 9518  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611

This theorem is referenced by: (None)