Theorem icodiamlt 11924

Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodiamlt	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )

Proof of Theorem icodiamlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8361	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
2		elico2 10318	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
3		elico2 10318	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( D e. ( A [,) B ) <-> ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) )
4	2, 3	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) <-> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
5	4	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
6	1, 5	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
7		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> B e. RR )
8	7	recnd 8344	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> B e. CC )
9		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A e. RR )
10	9	recnd 8344	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A e. CC )
11	8, 10	negsubdi2d 8643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> -u ( B - A ) = ( A - B ) )
12	9, 7	resubcld 8698	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) e. RR )
13		simprl1 1073	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> C e. RR )
14	13, 7	resubcld 8698	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - B ) e. RR )
15		simprr1 1076	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> D e. RR )
16	13, 15	resubcld 8698	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) e. RR )
17		simprl2 1074	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A <_ C )
18	9, 13, 7, 17	lesub1dd 8879	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) <_ ( C - B ) )
19		simprr3 1078	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> D < B )
20	15, 7, 13, 19	ltsub2dd 8876	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - B ) < ( C - D ) )
21	12, 14, 16, 18, 20	lelttrd 8441	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) < ( C - D ) )
22	11, 21	eqbrtrd 4147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> -u ( B - A ) < ( C - D ) )
23	7, 15	resubcld 8698	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - D ) e. RR )
24	7, 9	resubcld 8698	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - A ) e. RR )
25		simprl3 1075	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> C < B )
26	13, 7, 15, 25	ltsub1dd 8875	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) < ( B - D ) )
27		simprr2 1077	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A <_ D )
28	9, 15, 7, 27	lesub2dd 8880	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - D ) <_ ( B - A ) )
29	16, 23, 24, 26, 28	ltletrd 8741	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) < ( B - A ) )
30	16, 24	absltd 11918	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) <-> ( -u ( B - A ) < ( C - D ) /\ ( C - D ) < ( B - A ) ) ) )
31	22, 29, 30	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )
32	31	ex 115	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) ) )
33	6, 32	syld 45	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) ) )
34	33	imp 124	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   -ucneg 8488   [,)cico 10271   abscabs 11741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-ico 10275  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743

This theorem is referenced by: (None)