Theorem icodiamlt 11865

Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodiamlt	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )

Proof of Theorem icodiamlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8319	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
2		elico2 10270	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
3		elico2 10270	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( D e. ( A [,) B ) <-> ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) <-> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
5	4	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
6	1, 5	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
7		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> B e. RR )
8	7	recnd 8302	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> B e. CC )
9		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A e. RR )
10	9	recnd 8302	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A e. CC )
11	8, 10	negsubdi2d 8600	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> -u ( B - A ) = ( A - B ) )
12	9, 7	resubcld 8654	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) e. RR )
13		simprl1 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> C e. RR )
14	13, 7	resubcld 8654	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - B ) e. RR )
15		simprr1 1072	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> D e. RR )
16	13, 15	resubcld 8654	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) e. RR )
17		simprl2 1070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A <_ C )
18	9, 13, 7, 17	lesub1dd 8835	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) <_ ( C - B ) )
19		simprr3 1074	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> D < B )
20	15, 7, 13, 19	ltsub2dd 8832	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - B ) < ( C - D ) )
21	12, 14, 16, 18, 20	lelttrd 8398	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) < ( C - D ) )
22	11, 21	eqbrtrd 4131	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> -u ( B - A ) < ( C - D ) )
23	7, 15	resubcld 8654	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - D ) e. RR )
24	7, 9	resubcld 8654	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - A ) e. RR )
25		simprl3 1071	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> C < B )
26	13, 7, 15, 25	ltsub1dd 8831	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) < ( B - D ) )
27		simprr2 1073	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A <_ D )
28	9, 15, 7, 27	lesub2dd 8836	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - D ) <_ ( B - A ) )
29	16, 23, 24, 26, 28	ltletrd 8697	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) < ( B - A ) )
30	16, 24	absltd 11859	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) <-> ( -u ( B - A ) < ( C - D ) /\ ( C - D ) < ( B - A ) ) ) )
31	22, 29, 30	mpbir2and 953	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )
32	31	ex 115	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) ) )
33	6, 32	syld 45	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) ) )
34	33	imp 124	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   RRcr 8126   RR*cxr 8307   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   -ucneg 8445   [,)cico 10223   abscabs 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-ico 10227  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by: (None)