Theorem icodiamlt 11962

Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodiamlt	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )

Proof of Theorem icodiamlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8372	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
2		elico2 10350	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
3		elico2 10350	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( D e. ( A [,) B ) <-> ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) )
4	2, 3	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) <-> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
5	4	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
6	1, 5	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) )
7		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> B e. RR )
8	7	recnd 8355	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> B e. CC )
9		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A e. RR )
10	9	recnd 8355	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A e. CC )
11	8, 10	negsubdi2d 8655	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> -u ( B - A ) = ( A - B ) )
12	9, 7	resubcld 8710	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) e. RR )
13		simprl1 1073	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> C e. RR )
14	13, 7	resubcld 8710	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - B ) e. RR )
15		simprr1 1076	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> D e. RR )
16	13, 15	resubcld 8710	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) e. RR )
17		simprl2 1074	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A <_ C )
18	9, 13, 7, 17	lesub1dd 8891	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) <_ ( C - B ) )
19		simprr3 1078	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> D < B )
20	15, 7, 13, 19	ltsub2dd 8888	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - B ) < ( C - D ) )
21	12, 14, 16, 18, 20	lelttrd 8453	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( A - B ) < ( C - D ) )
22	11, 21	eqbrtrd 4152	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> -u ( B - A ) < ( C - D ) )
23	7, 15	resubcld 8710	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - D ) e. RR )
24	7, 9	resubcld 8710	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - A ) e. RR )
25		simprl3 1075	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> C < B )
26	13, 7, 15, 25	ltsub1dd 8887	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) < ( B - D ) )
27		simprr2 1077	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> A <_ D )
28	9, 15, 7, 27	lesub2dd 8892	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( B - D ) <_ ( B - A ) )
29	16, 23, 24, 26, 28	ltletrd 8753	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( C - D ) < ( B - A ) )
30	16, 24	absltd 11956	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) <-> ( -u ( B - A ) < ( C - D ) /\ ( C - D ) < ( B - A ) ) ) )
31	22, 29, 30	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )
32	31	ex 115	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C < B ) /\ ( D e. RR /\ A <_ D /\ D < B ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) ) )
33	6, 32	syld 45	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) ) )
34	33	imp 124	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. ( A [,) B ) /\ D e. ( A [,) B ) ) ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < ( B - A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8179   RR*cxr 8360   < clt 8361   <_ cle 8362   - cmin 8499   -ucneg 8500   [,)cico 10303   abscabs 11778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-ico 10307  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780

This theorem is used by: (None)