ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letri3d Unicode version

Theorem letri3d 7796
Description: Tightness of real apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
letri3d  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 letri3 7762 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 406 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1312    e. wcel 1461   class class class wbr 3893   RRcr 7540    <_ cle 7719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-apti 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724
This theorem is referenced by:  ltntri  7807  add20  8149  msq11  8564  squeeze0  8566  suprzclex  9047  exbtwnz  9915  flid  9944  expcan  10350  dfabsmax  10875  sumsnf  11064  zssinfcl  11483  gcd0id  11509  gcdneg  11512  gcdaddm  11514  gcdzeq  11550  lcmneg  11595  coprmgcdb  11609  qredeq  11617  pw2dvdseu  11685  refeq  12904
  Copyright terms: Public domain W3C validator