Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmneg Unicode version

Theorem lcmneg 11923
 Description: Negating one operand of the lcm operator does not alter the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmneg lcm lcm

Proof of Theorem lcmneg
StepHypRef Expression
1 lcm0val 11914 . . . . . . . 8 lcm
2 znegcl 9177 . . . . . . . . 9
3 lcm0val 11914 . . . . . . . . 9 lcm
42, 3syl 14 . . . . . . . 8 lcm
51, 4eqtr4d 2190 . . . . . . 7 lcm lcm
65ad2antlr 481 . . . . . 6 lcm lcm
7 oveq2 5822 . . . . . . . 8 lcm lcm
8 oveq2 5822 . . . . . . . 8 lcm lcm
97, 8eqeq12d 2169 . . . . . . 7 lcm lcm lcm lcm
109adantl 275 . . . . . 6 lcm lcm lcm lcm
116, 10mpbird 166 . . . . 5 lcm lcm
12 lcmcom 11913 . . . . . . 7 lcm lcm
13 lcmcom 11913 . . . . . . . 8 lcm lcm
142, 13sylan2 284 . . . . . . 7 lcm lcm
1512, 14eqeq12d 2169 . . . . . 6 lcm lcm lcm lcm
1615adantr 274 . . . . 5 lcm lcm lcm lcm
1711, 16mpbird 166 . . . 4 lcm lcm
18 neg0 8100 . . . . . . . 8
1918oveq2i 5825 . . . . . . 7 lcm lcm
2019eqcomi 2158 . . . . . 6 lcm lcm
21 oveq2 5822 . . . . . 6 lcm lcm
22 negeq 8047 . . . . . . 7
2322oveq2d 5830 . . . . . 6 lcm lcm
2420, 21, 233eqtr4a 2213 . . . . 5 lcm lcm
2524adantl 275 . . . 4 lcm lcm
2617, 25jaodan 787 . . 3 lcm lcm
27 dvdslcm 11918 . . . . . . . 8 lcm lcm
282, 27sylan2 284 . . . . . . 7 lcm lcm
29 simpr 109 . . . . . . . . 9
30 lcmcl 11921 . . . . . . . . . . 11 lcm
312, 30sylan2 284 . . . . . . . . . 10 lcm
3231nn0zd 9263 . . . . . . . . 9 lcm
33 negdvdsb 11676 . . . . . . . . 9 lcm lcm lcm
3429, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . . 8 lcm lcm
3534anbi2d 460 . . . . . . 7 lcm lcm lcm lcm
3628, 35mpbird 166 . . . . . 6 lcm lcm
3736adantr 274 . . . . 5 lcm lcm
38 zcn 9151 . . . . . . . . . . . . 13
3938negeq0d 8157 . . . . . . . . . . . 12
4039orbi2d 780 . . . . . . . . . . 11
4140notbid 657 . . . . . . . . . 10
4241biimpa 294 . . . . . . . . 9
4342adantll 468 . . . . . . . 8
44 lcmn0cl 11917 . . . . . . . . 9 lcm
452, 44sylanl2 401 . . . . . . . 8 lcm
4643, 45syldan 280 . . . . . . 7 lcm
47 simpl 108 . . . . . . 7
48 3anass 967 . . . . . . 7 lcm lcm
4946, 47, 48sylanbrc 414 . . . . . 6 lcm
50 simpr 109 . . . . . 6
51 lcmledvds 11919 . . . . . 6 lcm lcm lcm lcm lcm
5249, 50, 51syl2anc 409 . . . . 5 lcm lcm lcm lcm
5337, 52mpd 13 . . . 4 lcm lcm
54 dvdslcm 11918 . . . . . 6 lcm lcm
5554adantr 274 . . . . 5 lcm lcm
56 simplr 520 . . . . . . . 8
57 lcmn0cl 11917 . . . . . . . . 9 lcm
5857nnzd 9264 . . . . . . . 8 lcm
59 negdvdsb 11676 . . . . . . . 8 lcm lcm lcm
6056, 58, 59syl2anc 409 . . . . . . 7 lcm lcm
6160anbi2d 460 . . . . . 6 lcm lcm lcm lcm
62 lcmledvds 11919 . . . . . . . . . 10 lcm lcm lcm lcm lcm
6362ex 114 . . . . . . . . 9 lcm lcm lcm lcm lcm
642, 63syl3an3 1252 . . . . . . . 8 lcm lcm lcm lcm lcm
65643expib 1185 . . . . . . 7 lcm lcm lcm lcm lcm
6657, 47, 43, 65syl3c 63 . . . . . 6 lcm lcm lcm lcm
6761, 66sylbid 149 . . . . 5 lcm lcm lcm lcm
6855, 67mpd 13 . . . 4 lcm lcm
69 lcmcl 11921 . . . . . . 7 lcm
7069nn0red 9123 . . . . . 6 lcm
7130nn0red 9123 . . . . . . 7 lcm
722, 71sylan2 284 . . . . . 6 lcm
7370, 72letri3d 7971 . . . . 5 lcm lcm lcm lcm lcm lcm
7473adantr 274 . . . 4 lcm lcm lcm lcm lcm lcm
7553, 68, 74mpbir2and 929 . . 3 lcm lcm
76 lcmmndc 11911 . . . 4 DECID
77 exmiddc 822 . . . 4 DECID
7876, 77syl 14 . . 3
7926, 75, 78mpjaodan 788 . 2 lcm lcm
8079eqcomd 2160 1 lcm lcm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 698  DECID wdc 820   w3a 963   wceq 1332   wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  cr 7710  cc0 7711   cle 7892  cneg 8026  cn 8812  cn0 9069  cz 9146   cdvds 11660   lcm clcm 11909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-sup 6916  df-inf 6917  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-fl 10147  df-mod 10200  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-dvds 11661  df-lcm 11910 This theorem is referenced by:  neglcm  11924  lcmabs  11925
 Copyright terms: Public domain W3C validator