Theorem pcidlem 12289

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcidlem	|- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) = A )

Proof of Theorem pcidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> P e. Prime )
2		prmnn 12077	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> P e. NN )
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> A e. NN0 )
5	3, 4	nnexpcld 10645	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ A ) e. NN )
6	1, 5	pccld 12267	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) e. NN0 )
7	6	nn0red 9203	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) e. RR )
8	7	leidd 8445	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) )
9	5	nnzd 9347	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ A ) e. ZZ )
10		pcdvdsb 12286	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( P ^ A ) e. ZZ /\ ( P pCnt ( P ^ A ) ) e. NN0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) <-> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) ) )
11	1, 9, 6, 10	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) <-> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) ) )
12	8, 11	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) )
13	3, 6	nnexpcld 10645	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) e. NN )
14	13	nnzd 9347	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) e. ZZ )
15		dvdsle 11817	. . . . 5 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) e. ZZ /\ ( P ^ A ) e. NN ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) ) )
16	14, 5, 15	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) ) )
17	12, 16	mpd 13	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) )
18	3	nnred 8905	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> P e. RR )
19		prmuz2 12098	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
20		eluz2gt1 9575	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
21	1, 19, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> 1 < P )
22		nn0leexp2 10659	. . . 4 |- ( ( ( P e. RR /\ ( P pCnt ( P ^ A ) ) e. NN0 /\ A e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ A <-> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) ) )
23	18, 6, 4, 21, 22	syl31anc 1241	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ A <-> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) ) )
24	17, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ A )
25		iddvds 11779	. . . 4 |- ( ( P ^ A ) e. ZZ -> ( P ^ A ) || ( P ^ A ) )
26	9, 25	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ A ) || ( P ^ A ) )
27		pcdvdsb 12286	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( P ^ A ) e. ZZ /\ A e. NN0 ) -> ( A <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) <-> ( P ^ A ) || ( P ^ A ) ) )
28	1, 9, 4, 27	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( A <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) <-> ( P ^ A ) || ( P ^ A ) ) )
29	26, 28	mpbird 167	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> A <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) )
30		nn0re 9158	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
31	30	adantl 277	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> A e. RR )
32	7, 31	letri3d 8047	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) = A <-> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ A /\ A <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) ) )
33	24, 29, 32	mpbir2and 944	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RRcr 7785   1c1 7787   < clt 7966   <_ cle 7967   NNcn 8892   2c2 8943   NN0cn0 9149   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501   ^cexp 10489   || cdvds 11762   Primecprime 12074   pCnt cpc 12251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-pc 12252

This theorem is referenced by:  pcid  12290  pcmpt  12308