Theorem pcidlem 12355

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcidlem	|- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) = A )

Proof of Theorem pcidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> P e. Prime )
2		prmnn 12142	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> P e. NN )
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> A e. NN0 )
5	3, 4	nnexpcld 10707	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ A ) e. NN )
6	1, 5	pccld 12332	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) e. NN0 )
7	6	nn0red 9260	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) e. RR )
8	7	leidd 8501	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) )
9	5	nnzd 9404	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ A ) e. ZZ )
10		pcdvdsb 12352	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( P ^ A ) e. ZZ /\ ( P pCnt ( P ^ A ) ) e. NN0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) <-> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) ) )
11	1, 9, 6, 10	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) <-> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) ) )
12	8, 11	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) )
13	3, 6	nnexpcld 10707	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) e. NN )
14	13	nnzd 9404	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) e. ZZ )
15		dvdsle 11882	. . . . 5 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) e. ZZ /\ ( P ^ A ) e. NN ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) ) )
16	14, 5, 15	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) || ( P ^ A ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) ) )
17	12, 16	mpd 13	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) )
18	3	nnred 8962	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> P e. RR )
19		prmuz2 12163	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
20		eluz2gt1 9632	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
21	1, 19, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> 1 < P )
22		nn0leexp2 10722	. . . 4 |- ( ( ( P e. RR /\ ( P pCnt ( P ^ A ) ) e. NN0 /\ A e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ A <-> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) ) )
23	18, 6, 4, 21, 22	syl31anc 1252	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ A <-> ( P ^ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) <_ ( P ^ A ) ) )
24	17, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ A )
25		iddvds 11843	. . . 4 |- ( ( P ^ A ) e. ZZ -> ( P ^ A ) || ( P ^ A ) )
26	9, 25	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P ^ A ) || ( P ^ A ) )
27		pcdvdsb 12352	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( P ^ A ) e. ZZ /\ A e. NN0 ) -> ( A <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) <-> ( P ^ A ) || ( P ^ A ) ) )
28	1, 9, 4, 27	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( A <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) <-> ( P ^ A ) || ( P ^ A ) ) )
29	26, 28	mpbird 167	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> A <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) )
30		nn0re 9215	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
31	30	adantl 277	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> A e. RR )
32	7, 31	letri3d 8103	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) = A <-> ( ( P pCnt ( P ^ A ) ) <_ A /\ A <_ ( P pCnt ( P ^ A ) ) ) ) )
33	24, 29, 32	mpbir2and 946	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ A ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   RRcr 7840   1c1 7842   < clt 8022   <_ cle 8023   NNcn 8949   2c2 9000   NN0cn0 9206   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ^cexp 10550   || cdvds 11826   Primecprime 12139   pCnt cpc 12316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-pc 12317

This theorem is referenced by:  pcid  12356  pcmpt  12375