ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdzeq Unicode version

Theorem gcdzeq 11723
Description: A positive integer  A is equal to its gcd with an integer  B if and only if  A divides  B. Generalization of gcdeq 11724. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gcdzeq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  A  ||  B
) )

Proof of Theorem gcdzeq
StepHypRef Expression
1 nnz 9087 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2 gcddvds 11665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
31, 2sylan 281 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
43simprd 113 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
5 breq1 3932 . . 3  |-  ( ( A  gcd  B )  =  A  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  A  ||  B
) )
64, 5syl5ibcom 154 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  ->  A  ||  B ) )
71adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
8 iddvds 11519 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  A )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  A )
10 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
11 nnne0 8762 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
12 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  A  =  0 )
1312necon3ai 2357 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  0  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
1411, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
1514adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
16 dvdslegcd 11666 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( A  ||  A  /\  A  ||  B
)  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
177, 7, 10, 15, 16syl31anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  ||  A  /\  A  ||  B
)  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
189, 17mpand 425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
193simpld 111 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
20 gcdcl 11668 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
211, 20sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
2221nn0zd 9185 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
23 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  NN )
24 dvdsle 11555 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  -> 
( A  gcd  B
)  <_  A )
)
2522, 23, 24syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  -> 
( A  gcd  B
)  <_  A )
)
2619, 25mpd 13 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  <_  A )
2718, 26jctild 314 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  ( ( A  gcd  B )  <_  A  /\  A  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
2821nn0red 9045 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
29 nnre 8741 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
3029adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
3128, 30letri3d 7893 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  ( ( A  gcd  B )  <_  A  /\  A  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
3227, 31sylibrd 168 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  ( A  gcd  B
)  =  A ) )
336, 32impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  A  ||  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7633   0cc0 7634    <_ cle 7815   NNcn 8734   NN0cn0 8991   ZZcz 9068    || cdvds 11506    gcd cgcd 11648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-fz 9805  df-fzo 9934  df-fl 10057  df-mod 10110  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-dvds 11507  df-gcd 11649
This theorem is referenced by:  gcdeq  11724  isevengcd2  11849
  Copyright terms: Public domain W3C validator