Theorem gcdzeq 11988

Description: A positive integer A is equal to its gcd with an integer B if and only if A divides B. Generalization of gcdeq 11989. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gcdzeq	|- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> A || B ) )

Proof of Theorem gcdzeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9243	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
2		gcddvds 11929	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || B )
5		breq1 4001	. . 3 |- ( ( A gcd B ) = A -> ( ( A gcd B ) || B <-> A || B ) )
6	4, 5	syl5ibcom 155	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A -> A || B ) )
7	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
8		iddvds 11777	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A || A )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A || A )
10		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
11		nnne0 8918	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = 0 /\ B = 0 ) -> A = 0 )
13	12	necon3ai 2394	. . . . . . . 8 |- ( A =/= 0 -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
16		dvdslegcd 11930	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( ( A || A /\ A || B ) -> A <_ ( A gcd B ) ) )
17	7, 7, 10, 15, 16	syl31anc 1241	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A || A /\ A || B ) -> A <_ ( A gcd B ) ) )
18	9, 17	mpand 429	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> A <_ ( A gcd B ) ) )
19	3	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || A )
20		gcdcl 11932	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
21	1, 20	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9344	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
23		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. NN )
24		dvdsle 11815	. . . . . 6 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) <_ A ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) <_ A ) )
26	19, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) <_ A )
27	18, 26	jctild 316	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> ( ( A gcd B ) <_ A /\ A <_ ( A gcd B ) ) ) )
28	21	nn0red 9201	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. RR )
29		nnre 8897	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
30	29	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
31	28, 30	letri3d 8047	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> ( ( A gcd B ) <_ A /\ A <_ ( A gcd B ) ) ) )
32	27, 31	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> ( A gcd B ) = A ) )
33	6, 32	impbid 129	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> A || B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   =/= wne 2345   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786   <_ cle 7967   NNcn 8890   NN0cn0 9147   ZZcz 9224   || cdvds 11760   gcd cgcd 11908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909

This theorem is referenced by:  gcdeq  11989  isevengcd2  12123