Theorem gcdzeq 12025

Description: A positive integer A is equal to its gcd with an integer B if and only if A divides B. Generalization of gcdeq 12026. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gcdzeq	|- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> A || B ) )

Proof of Theorem gcdzeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9274	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
2		gcddvds 11966	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || B )
5		breq1 4008	. . 3 |- ( ( A gcd B ) = A -> ( ( A gcd B ) || B <-> A || B ) )
6	4, 5	syl5ibcom 155	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A -> A || B ) )
7	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
8		iddvds 11813	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A || A )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A || A )
10		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
11		nnne0 8949	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = 0 /\ B = 0 ) -> A = 0 )
13	12	necon3ai 2396	. . . . . . . 8 |- ( A =/= 0 -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
16		dvdslegcd 11967	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( ( A || A /\ A || B ) -> A <_ ( A gcd B ) ) )
17	7, 7, 10, 15, 16	syl31anc 1241	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A || A /\ A || B ) -> A <_ ( A gcd B ) ) )
18	9, 17	mpand 429	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> A <_ ( A gcd B ) ) )
19	3	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || A )
20		gcdcl 11969	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
21	1, 20	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9375	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
23		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. NN )
24		dvdsle 11852	. . . . . 6 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) <_ A ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) <_ A ) )
26	19, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) <_ A )
27	18, 26	jctild 316	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> ( ( A gcd B ) <_ A /\ A <_ ( A gcd B ) ) ) )
28	21	nn0red 9232	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. RR )
29		nnre 8928	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
30	29	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
31	28, 30	letri3d 8075	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> ( ( A gcd B ) <_ A /\ A <_ ( A gcd B ) ) ) )
32	27, 31	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> ( A gcd B ) = A ) )
33	6, 32	impbid 129	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> A || B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   <_ cle 7995   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   || cdvds 11796   gcd cgcd 11945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946

This theorem is referenced by:  gcdeq  12026  isevengcd2  12160