Theorem gcdzeq 12592

Description: A positive integer A is equal to its gcd with an integer B if and only if A divides B. Generalization of gcdeq 12593. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gcdzeq	|- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> A || B ) )

Proof of Theorem gcdzeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9497	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
2		gcddvds 12533	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || B )
5		breq1 4091	. . 3 |- ( ( A gcd B ) = A -> ( ( A gcd B ) || B <-> A || B ) )
6	4, 5	syl5ibcom 155	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A -> A || B ) )
7	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
8		iddvds 12364	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A || A )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A || A )
10		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
11		nnne0 9170	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = 0 /\ B = 0 ) -> A = 0 )
13	12	necon3ai 2451	. . . . . . . 8 |- ( A =/= 0 -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
16		dvdslegcd 12534	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( ( A || A /\ A || B ) -> A <_ ( A gcd B ) ) )
17	7, 7, 10, 15, 16	syl31anc 1276	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A || A /\ A || B ) -> A <_ ( A gcd B ) ) )
18	9, 17	mpand 429	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> A <_ ( A gcd B ) ) )
19	3	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || A )
20		gcdcl 12536	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
21	1, 20	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9599	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
23		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. NN )
24		dvdsle 12404	. . . . . 6 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) <_ A ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) <_ A ) )
26	19, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) <_ A )
27	18, 26	jctild 316	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> ( ( A gcd B ) <_ A /\ A <_ ( A gcd B ) ) ) )
28	21	nn0red 9455	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. RR )
29		nnre 9149	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
30	29	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
31	28, 30	letri3d 8294	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> ( ( A gcd B ) <_ A /\ A <_ ( A gcd B ) ) ) )
32	27, 31	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> ( A gcd B ) = A ) )
33	6, 32	impbid 129	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> A || B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   <_ cle 8214   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   || cdvds 12347   gcd cgcd 12523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524

This theorem is referenced by:  gcdeq  12593  isevengcd2  12729