Theorem gcdzeq 11746

Description: A positive integer A is equal to its gcd with an integer B if and only if A divides B. Generalization of gcdeq 11747. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gcdzeq	|- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> A || B ) )

Proof of Theorem gcdzeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9097	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
2		gcddvds 11688	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
3	1, 2	sylan 281	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
4	3	simprd 113	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || B )
5		breq1 3940	. . 3 |- ( ( A gcd B ) = A -> ( ( A gcd B ) || B <-> A || B ) )
6	4, 5	syl5ibcom 154	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A -> A || B ) )
7	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
8		iddvds 11542	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A || A )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A || A )
10		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
11		nnne0 8772	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
12		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = 0 /\ B = 0 ) -> A = 0 )
13	12	necon3ai 2358	. . . . . . . 8 |- ( A =/= 0 -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
15	14	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
16		dvdslegcd 11689	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( ( A || A /\ A || B ) -> A <_ ( A gcd B ) ) )
17	7, 7, 10, 15, 16	syl31anc 1220	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A || A /\ A || B ) -> A <_ ( A gcd B ) ) )
18	9, 17	mpand 426	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> A <_ ( A gcd B ) ) )
19	3	simpld 111	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || A )
20		gcdcl 11691	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
21	1, 20	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9195	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
23		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. NN )
24		dvdsle 11578	. . . . . 6 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) <_ A ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) <_ A ) )
26	19, 25	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) <_ A )
27	18, 26	jctild 314	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> ( ( A gcd B ) <_ A /\ A <_ ( A gcd B ) ) ) )
28	21	nn0red 9055	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. RR )
29		nnre 8751	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
30	29	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
31	28, 30	letri3d 7903	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> ( ( A gcd B ) <_ A /\ A <_ ( A gcd B ) ) ) )
32	27, 31	sylibrd 168	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( A || B -> ( A gcd B ) = A ) )
33	6, 32	impbid 128	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) = A <-> A || B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   <_ cle 7825   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   || cdvds 11529   gcd cgcd 11671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-gcd 11672

This theorem is referenced by:  gcdeq  11747  isevengcd2  11872