ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdzeq Unicode version

Theorem gcdzeq 12058
Description: A positive integer  A is equal to its gcd with an integer  B if and only if  A divides  B. Generalization of gcdeq 12059. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gcdzeq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  A  ||  B
) )

Proof of Theorem gcdzeq
StepHypRef Expression
1 nnz 9303 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2 gcddvds 11999 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
31, 2sylan 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
43simprd 114 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
5 breq1 4021 . . 3  |-  ( ( A  gcd  B )  =  A  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  A  ||  B
) )
64, 5syl5ibcom 155 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  ->  A  ||  B ) )
71adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
8 iddvds 11846 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  A )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  A )
10 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
11 nnne0 8978 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
12 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  A  =  0 )
1312necon3ai 2409 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  0  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
1411, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
1514adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
16 dvdslegcd 12000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( A  ||  A  /\  A  ||  B
)  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
177, 7, 10, 15, 16syl31anc 1252 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  ||  A  /\  A  ||  B
)  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
189, 17mpand 429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  ( A  gcd  B ) ) )
193simpld 112 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
20 gcdcl 12002 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
211, 20sylan 283 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
2221nn0zd 9404 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
23 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  NN )
24 dvdsle 11885 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  -> 
( A  gcd  B
)  <_  A )
)
2522, 23, 24syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  -> 
( A  gcd  B
)  <_  A )
)
2619, 25mpd 13 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  <_  A )
2718, 26jctild 316 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  ( ( A  gcd  B )  <_  A  /\  A  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
2821nn0red 9261 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
29 nnre 8957 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
3029adantr 276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
3128, 30letri3d 8104 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  ( ( A  gcd  B )  <_  A  /\  A  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
3227, 31sylibrd 169 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  ( A  gcd  B
)  =  A ) )
336, 32impbid 129 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  A  <->  A  ||  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842    <_ cle 8024   NNcn 8950   NN0cn0 9207   ZZcz 9284    || cdvds 11829    gcd cgcd 11978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-sup 7014  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830  df-gcd 11979
This theorem is referenced by:  gcdeq  12059  isevengcd2  12193
  Copyright terms: Public domain W3C validator