Theorem expcan 10629

Description: Cancellation law for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expcan	|- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> M = N ) )

Proof of Theorem expcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 990	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
2		simpl2 991	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> M e. ZZ )
3		simpl3 992	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> N e. ZZ )
4		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
5	1, 2, 3, 4	expcanlem 10628	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )
6	1, 3, 2, 4	expcanlem 10628	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) -> N <_ M ) )
7	5, 6	anim12d 333	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) /\ ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
8		0red 7900	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 e. RR )
9		1red 7914	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
10		0lt1 8025	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 < 1 )
12	8, 9, 1, 11, 4	lttrd 8024	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 < A )
13	1, 12	gt0ap0d 8527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> A # 0 )
14	1, 13, 2	reexpclzapd 10613	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( A ^ M ) e. RR )
15	1, 13, 3	reexpclzapd 10613	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) e. RR )
16	14, 15	letri3d 8014	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) /\ ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
17	2	zred 9313	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> M e. RR )
18	3	zred 9313	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> N e. RR )
19	17, 18	letri3d 8014	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
20	7, 16, 19	3imtr4d 202	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) -> M = N ) )
21		oveq2 5850	. 2 |- ( M = N -> ( A ^ M ) = ( A ^ N ) )
22	20, 21	impbid1 141	1 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> M = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ^cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  expcand  10630