Theorem expcan 10463

Description: Cancellation law for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expcan	|- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> M = N ) )

Proof of Theorem expcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 984	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
2		simpl2 985	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> M e. ZZ )
3		simpl3 986	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> N e. ZZ )
4		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
5	1, 2, 3, 4	expcanlem 10462	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )
6	1, 3, 2, 4	expcanlem 10462	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) -> N <_ M ) )
7	5, 6	anim12d 333	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) /\ ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
8		0red 7767	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 e. RR )
9		1red 7781	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
10		0lt1 7889	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 < 1 )
12	8, 9, 1, 11, 4	lttrd 7888	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 < A )
13	1, 12	gt0ap0d 8391	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> A # 0 )
14	1, 13, 2	reexpclzapd 10449	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( A ^ M ) e. RR )
15	1, 13, 3	reexpclzapd 10449	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) e. RR )
16	14, 15	letri3d 7879	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) /\ ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
17	2	zred 9173	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> M e. RR )
18	3	zred 9173	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> N e. RR )
19	17, 18	letri3d 7879	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
20	7, 16, 19	3imtr4d 202	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) -> M = N ) )
21		oveq2 5782	. 2 |- ( M = N -> ( A ^ M ) = ( A ^ N ) )
22	20, 21	impbid1 141	1 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> M = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   < clt 7800   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ^cexp 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293

This theorem is referenced by:  expcand  10464