Theorem expcan 10842

Description: Cancellation law for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expcan	|- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> M = N ) )

Proof of Theorem expcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> A e. RR )
2		simpl2 1003	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> M e. ZZ )
3		simpl3 1004	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> N e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
5	1, 2, 3, 4	expcanlem 10841	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) -> M <_ N ) )
6	1, 3, 2, 4	expcanlem 10841	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) -> N <_ M ) )
7	5, 6	anim12d 335	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) /\ ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
8		0red 8055	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 e. RR )
9		1red 8069	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 1 e. RR )
10		0lt1 8181	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 < 1 )
12	8, 9, 1, 11, 4	lttrd 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> 0 < A )
13	1, 12	gt0ap0d 8684	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> A # 0 )
14	1, 13, 2	reexpclzapd 10824	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( A ^ M ) e. RR )
15	1, 13, 3	reexpclzapd 10824	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( A ^ N ) e. RR )
16	14, 15	letri3d 8170	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> ( ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) /\ ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
17	2	zred 9477	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> M e. RR )
18	3	zred 9477	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> N e. RR )
19	17, 18	letri3d 8170	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
20	7, 16, 19	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) -> M = N ) )
21		oveq2 5942	. 2 |- ( M = N -> ( A ^ M ) = ( A ^ N ) )
22	20, 21	impbid1 142	1 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 1 < A ) -> ( ( A ^ M ) = ( A ^ N ) <-> M = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934   RRcr 7906   0cc0 7907   1c1 7908   < clt 8089   <_ cle 8090   ZZcz 9354   ^cexp 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-rp 9758  df-seqfrec 10574  df-exp 10665

This theorem is referenced by:  expcand  10843