Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodbased GIF version

Theorem lmodbased 11777
 Description: The base set of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecfn.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b (𝜑𝐵𝑉)
lmodstr.g (𝜑+𝑋)
lmodstr.s (𝜑𝐹𝑌)
lmodstr.m (𝜑·𝑍)
Assertion
Ref Expression
lmodbased (𝜑𝐵 = (Base‘𝑊))

Proof of Theorem lmodbased
StepHypRef Expression
1 lvecfn.w . . 3 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2 lmodstr.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
3 lmodstr.g . . 3 (𝜑+𝑋)
4 lmodstr.s . . 3 (𝜑𝐹𝑌)
5 lmodstr.m . . 3 (𝜑·𝑍)
61, 2, 3, 4, 5lmodstrd 11776 . 2 (𝜑𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)
7 basendxnn 11698 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ ℕ
8 opexg 4079 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
97, 2, 8sylancr 406 . . . 4 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
10 tpid1g 3574 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩})
11 elun1 3182 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
129, 10, 113syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
1312, 1syl6eleqr 2188 . 2 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝑊)
146, 2, 13opelstrbas 11740 1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑊))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ∪ cun 3011  {csn 3466  {ctp 3468  ⟨cop 3469  ‘cfv 5049  1c1 7448  ℕcn 8520  6c6 8575  ndxcnx 11640  Basecbs 11643  +gcplusg 11705  Scalarcsca 11708   ·𝑠 cvsca 11709 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-tp 3474  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645  df-ndx 11646  df-slot 11647  df-base 11649  df-plusg 11718  df-sca 11721  df-vsca 11722 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator