Theorem lmodstrd 13237

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	|- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
lmodstr.b	|- ( ph -> B e. V )
lmodstr.g	|- ( ph -> .+ e. X )
lmodstr.s	|- ( ph -> F e. Y )
lmodstr.m	|- ( ph -> .x. e. Z )

Assertion

Ref	Expression
lmodstrd	|- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )

Proof of Theorem lmodstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. 2 |- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
2		lmodstr.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		lmodstr.g	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. X )
4		lmodstr.s	. . . 4 |- ( ph -> F e. Y )
5		1nn 9144	. . . . 5 |- 1 e. NN
6		basendx 13127	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) = 1
7		1lt2 9303	. . . . 5 |- 1 < 2
8		2nn 9295	. . . . 5 |- 2 e. NN
9		plusgndx 13182	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) = 2
10		2lt5 9311	. . . . 5 |- 2 < 5
11		5nn 9298	. . . . 5 |- 5 e. NN
12		scandx 13224	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) = 5
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 13181	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. X /\ F e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } Struct <. 1 , 5 >. )
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } Struct <. 1 , 5 >. )
15		lmodstr.m	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Z )
16		6nn 9299	. . . . 5 |- 6 e. NN
17		vscandx 13230	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	16, 17	strle1g 13179	. . . 4 |- ( .x. e. Z -> { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 6 , 6 >. )
19	15, 18	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 6 , 6 >. )
20		5lt6 9313	. . . 4 |- 5 < 6
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 5 < 6 )
22	14, 19, 21	strleund 13176	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) Struct <. 1 , 6 >. )
23	1, 22	eqbrtrid 4121	1 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3196   {csn 3667   {ctp 3669   <.cop 3670   class class class wbr 4086   ` cfv 5324   1c1 8023   < clt 8204   2c2 9184   5c5 9187   6c6 9188   Struct cstr 13068   ndxcnx 13069   Basecbs 13072   +g cplusg 13150  Scalarcsca 13153   .scvsca 13154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-struct 13074  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-sca 13166  df-vsca 13167

This theorem is referenced by:  lmodbased  13238  lmodplusgd  13239  lmodscad  13240  lmodvscad  13241