Theorem lmodstrd 13518

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	|- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
lmodstr.b	|- ( ph -> B e. V )
lmodstr.g	|- ( ph -> .+ e. X )
lmodstr.s	|- ( ph -> F e. Y )
lmodstr.m	|- ( ph -> .x. e. Z )

Assertion

Ref	Expression
lmodstrd	|- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )

Proof of Theorem lmodstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. 2 |- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
2		lmodstr.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		lmodstr.g	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. X )
4		lmodstr.s	. . . 4 |- ( ph -> F e. Y )
5		1nn 9315	. . . . 5 |- 1 e. NN
6		basendx 13407	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) = 1
7		1lt2 9474	. . . . 5 |- 1 < 2
8		2nn 9466	. . . . 5 |- 2 e. NN
9		plusgndx 13463	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) = 2
10		2lt5 9482	. . . . 5 |- 2 < 5
11		5nn 9469	. . . . 5 |- 5 e. NN
12		scandx 13505	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) = 5
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 13462	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. X /\ F e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } Struct <. 1 , 5 >. )
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } Struct <. 1 , 5 >. )
15		lmodstr.m	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Z )
16		6nn 9470	. . . . 5 |- 6 e. NN
17		vscandx 13511	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	16, 17	strle1g 13460	. . . 4 |- ( .x. e. Z -> { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 6 , 6 >. )
19	15, 18	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 6 , 6 >. )
20		5lt6 9484	. . . 4 |- 5 < 6
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 5 < 6 )
22	14, 19, 21	strleund 13457	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) Struct <. 1 , 6 >. )
23	1, 22	eqbrtrid 4165	1 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {csn 3709   {ctp 3711   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   1c1 8180   < clt 8360   2c2 9355   5c5 9358   6c6 9359   Struct cstr 13348   ndxcnx 13349   Basecbs 13352   +g cplusg 13431  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-sca 13447  df-vsca 13448

This theorem is used by:  lmodbased  13519  lmodplusgd  13520  lmodscad  13521  lmodvscad  13522