Theorem lmodstrd 12131

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	|- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
lmodstr.b	|- ( ph -> B e. V )
lmodstr.g	|- ( ph -> .+ e. X )
lmodstr.s	|- ( ph -> F e. Y )
lmodstr.m	|- ( ph -> .x. e. Z )

Assertion

Ref	Expression
lmodstrd	|- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )

Proof of Theorem lmodstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. 2 |- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
2		lmodstr.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
3		lmodstr.g	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. X )
4		lmodstr.s	. . . 4 |- ( ph -> F e. Y )
5		1nn 8755	. . . . 5 |- 1 e. NN
6		basendx 12052	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) = 1
7		1lt2 8913	. . . . 5 |- 1 < 2
8		2nn 8905	. . . . 5 |- 2 e. NN
9		plusgndx 12091	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) = 2
10		2lt5 8921	. . . . 5 |- 2 < 5
11		5nn 8908	. . . . 5 |- 5 e. NN
12		scandx 12125	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) = 5
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 12090	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ .+ e. X /\ F e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } Struct <. 1 , 5 >. )
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } Struct <. 1 , 5 >. )
15		lmodstr.m	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Z )
16		6nn 8909	. . . . 5 |- 6 e. NN
17		vscandx 12128	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	16, 17	strle1g 12088	. . . 4 |- ( .x. e. Z -> { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 6 , 6 >. )
19	15, 18	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } Struct <. 6 , 6 >. )
20		5lt6 8923	. . . 4 |- 5 < 6
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 5 < 6 )
22	14, 19, 21	strleund 12086	. 2 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) Struct <. 1 , 6 >. )
23	1, 22	eqbrtrid 3971	1 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   {csn 3532   {ctp 3534   <.cop 3535   class class class wbr 3937   ` cfv 5131   1c1 7645   < clt 7824   2c2 8795   5c5 8798   6c6 8799   Struct cstr 11994   ndxcnx 11995   Basecbs 11998   +g cplusg 12060  Scalarcsca 12063   .scvsca 12064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-tp 3540  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-struct 12000  df-ndx 12001  df-slot 12002  df-base 12004  df-plusg 12073  df-sca 12076  df-vsca 12077

This theorem is referenced by:  lmodbased  12132  lmodplusgd  12133  lmodscad  12134  lmodvscad  12135