Theorem lspsnsub 13573

Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsub.s	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsnsub.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnsub.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnsub	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))

Proof of Theorem lspsnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsub.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspsnsub.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspsnsub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		lspsnsub.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspsnsub.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
6	4, 5	lmodvsubcl 13484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
8		eqid 2187	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
9		lspsnsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	4, 8, 9	lspsnneg 13572	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
11	1, 7, 10	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
12		lmodgrp 13446	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
13	1, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
14	4, 5, 8	grpinvsub 12976	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
15	13, 2, 3, 14	syl3anc 1248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
16	15	sneqd 3617	. . 3 ⊢ (𝜑 → {((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))} = {(𝑌 − 𝑋)})
17	16	fveq2d 5531	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))
18	11, 17	eqtr3d 2222	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  {csn 3604  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  Grpcgrp 12896  inv_gcminusg 12897  -_gcsg 12898  LModclmod 13439  LSpanclspn 13538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13441  df-lssm 13505  df-lsp 13539

This theorem is referenced by: (None)