Theorem lspsnsub 14233

Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsub.s	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsnsub.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnsub.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnsub	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))

Proof of Theorem lspsnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsub.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspsnsub.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspsnsub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		lspsnsub.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspsnsub.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
6	4, 5	lmodvsubcl 14144	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
8		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
9		lspsnsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	4, 8, 9	lspsnneg 14232	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
11	1, 7, 10	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
12		lmodgrp 14106	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
13	1, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
14	4, 5, 8	grpinvsub 13464	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
15	13, 2, 3, 14	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
16	15	sneqd 3648	. . 3 ⊢ (𝜑 → {((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))} = {(𝑌 − 𝑋)})
17	16	fveq2d 5590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))
18	11, 17	eqtr3d 2241	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3635  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  Basecbs 12882  Grpcgrp 13382  inv_gcminusg 13383  -_gcsg 13384  LModclmod 14099  LSpanclspn 14198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-0g 13140  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-sbg 13387  df-mgp 13733  df-ur 13772  df-ring 13810  df-lmod 14101  df-lssm 14165  df-lsp 14199

This theorem is referenced by: (None)