ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspsnsub GIF version

Theorem lspsnsub 13667
Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnsub.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsub.s = (-g𝑊)
lspsnsub.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnsub.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnsub.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsnsub.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsnsub (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))

Proof of Theorem lspsnsub
StepHypRef Expression
1 lspsnsub.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspsnsub.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspsnsub.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
4 lspsnsub.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspsnsub.s . . . . 5 = (-g𝑊)
64, 5lmodvsubcl 13578 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 6syl3anc 1248 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
8 eqid 2187 . . . 4 (invg𝑊) = (invg𝑊)
9 lspsnsub.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
104, 8, 9lspsnneg 13666 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
111, 7, 10syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
12 lmodgrp 13540 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
131, 12syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
144, 5, 8grpinvsub 12987 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
1513, 2, 3, 14syl3anc 1248 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
1615sneqd 3617 . . 3 (𝜑 → {((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))} = {(𝑌 𝑋)})
1716fveq2d 5531 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))
1811, 17eqtr3d 2222 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1363  wcel 2158  {csn 3604  cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12476  Grpcgrp 12906  invgcminusg 12907  -gcsg 12908  LModclmod 13533  LSpanclspn 13632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12909  df-minusg 12910  df-sbg 12911  df-mgp 13230  df-ur 13269  df-ring 13307  df-lmod 13535  df-lssm 13599  df-lsp 13633
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator