Theorem lssincl 14180

Description: The intersection of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssincl	|- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T i^i U ) e. S )

Proof of Theorem lssincl

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 3918	. . 3 |- ( ( T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } = ( T i^i U ) )
2	1	3adant1 1018	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } = ( T i^i U ) )
3		simp1 1000	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> W e. LMod )
4		prssi 3791	. . . 4 |- ( ( T e. S /\ U e. S ) -> { T , U } C_ S )
5	4	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> { T , U } C_ S )
6		prmg 3754	. . . 4 |- ( T e. S -> E. w w e. { T , U } )
7	6	3ad2ant2 1022	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> E. w w e. { T , U } )
8		lssintcl.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
9	8	lssintclm 14179	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { T , U } C_ S /\ E. w w e. { T , U } ) -> |^| { T , U } e. S )
10	3, 5, 7, 9	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } e. S )
11	2, 10	eqeltrrd 2283	1 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T i^i U ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   i^i cin 3165   C_ wss 3166   {cpr 3634   |^|cint 3885   ` cfv 5272   LModclmod 14082   LSubSpclss 14147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-sca 12958  df-vsca 12959  df-0g 13123  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-grp 13368  df-minusg 13369  df-sbg 13370  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-ring 13793  df-lmod 14084  df-lssm 14148

This theorem is referenced by: (None)