Theorem lssincl 14662

Description: The intersection of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssincl	|- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T i^i U ) e. S )

Proof of Theorem lssincl

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 3987	. . 3 |- ( ( T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } = ( T i^i U ) )
2	1	3adant1 1042	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } = ( T i^i U ) )
3		simp1 1024	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> W e. LMod )
4		prssi 3857	. . . 4 |- ( ( T e. S /\ U e. S ) -> { T , U } C_ S )
5	4	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> { T , U } C_ S )
6		prmg 3819	. . . 4 |- ( T e. S -> E. w w e. { T , U } )
7	6	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> E. w w e. { T , U } )
8		lssintcl.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
9	8	lssintclm 14661	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { T , U } C_ S /\ E. w w e. { T , U } ) -> |^| { T , U } e. S )
10	3, 5, 7, 9	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } e. S )
11	2, 10	eqeltrrd 2312	1 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T i^i U ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   i^i cin 3213   C_ wss 3214   {cpr 3695   |^|cint 3954   ` cfv 5357   LModclmod 14564   LSubSpclss 14629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-sbg 13763  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244  df-lmod 14566  df-lssm 14630

This theorem is referenced by: (None)