Theorem lssincl 14582

Description: The intersection of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssincl	|- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T i^i U ) e. S )

Proof of Theorem lssincl

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 3984	. . 3 |- ( ( T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } = ( T i^i U ) )
2	1	3adant1 1042	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } = ( T i^i U ) )
3		simp1 1024	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> W e. LMod )
4		prssi 3854	. . . 4 |- ( ( T e. S /\ U e. S ) -> { T , U } C_ S )
5	4	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> { T , U } C_ S )
6		prmg 3816	. . . 4 |- ( T e. S -> E. w w e. { T , U } )
7	6	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> E. w w e. { T , U } )
8		lssintcl.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
9	8	lssintclm 14581	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { T , U } C_ S /\ E. w w e. { T , U } ) -> |^| { T , U } e. S )
10	3, 5, 7, 9	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> |^| { T , U } e. S )
11	2, 10	eqeltrrd 2312	1 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T i^i U ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   i^i cin 3212   C_ wss 3213   {cpr 3692   |^|cint 3951   ` cfv 5354   LModclmod 14484   LSubSpclss 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-ring 14163  df-lmod 14486  df-lssm 14550

This theorem is referenced by: (None)